1.0 Der Graph $G_{f}G\_f$ einer ganzrationalen Funktion $ff$ vierten Grades mit $D_f=\mathbb{R}D\_f=\backslash mathbb\{R\}$ ist symmetrisch zur y-Achse und hat einen Wendepunkt $W_1(1\mathrm{\mid }2,5)W\_1(1\; |\; 2,\; 5)$. Die Tangente $G_{t}G\_t$ im Punkt $W_{1}W\_1$ besitzt die Gleichung $t:y=4x-1,5t:y=4x-1\{,\}5$ mit $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ .

1.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm $f(x)f(x)$.

[Mögliches Ergebnis: $f(x)=-\frac{1}{2}(x^4-6x^2)]f(x)=-\backslash frac12(x^4-6x^2)\backslash rbrack$

1.2 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $ff$ und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}G\_f$.

1.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}G\_f$.

1.4 Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}G\_f$ genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die x-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}G\_f$, welche die gleichen y-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

1.5 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-2,5⩽x⩽2,5-2\{,\}5\backslash leqslant\; x\backslash leqslant2\{,\}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der y-Achse der Bereich $-5⩽x⩽5-5\backslash leqslant\; x\backslash leqslant5$ benötigt.

Maßstab: $11$ LE $=1cm=\; 1\; cm$.

1.6 Zeigen Sie, dass an der Stelle $x=-2x=-2$ die Gleichung $f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f(x)-f\text{'}(x)=0$ gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}G\_f$ bedeutet.

1.7 Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ an und zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-2⩽x⩽2-2\backslash leqslant\; x\backslash leqslant2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

1.8 Die Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.