3.0 Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius $r=12cm$ und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $b$ in der Grundfläche (siehe nebenstehende Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

3.1 Bestimmen Sie die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $h$.

[Mögliches Ergebnis: $V(h)=\frac{\pi }{3}(-h^3+144h)$]

3.2 Aus technischen Gründen wird für die Funktion $V:h\mapsto V(h)$ als Definitionsbereich $D_V=[2;8]$ gewählt.

Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.