(3 BE)

Gegeben sind die drei Eckpunkte $A(5|-4|-3)$, $B(5|4|3)$ und $C(0|4|3)$ eines Rechtecks $ABCD$. Die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ und des Mittelpunktes der Diagonalen $[AC]$ sind zu berechnen.

Was du als gegeben betrachten darfst:

Der Innenwinkel $\beta$ beim Eckpunkt $B$

beträgt $90°$. (Sonst würde $ABCD$ kein Rechteck ergeben können!)

Da Gegenseiten im Rechteck parallel und gleich lang sind, erhältst du den Eckpunkt $D$ so:

$D(0|-4|-3)$ ist der gesuchte vierte Eckpunkt des Vierecks.

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte der Strecke.

Also gilt für den gesuchten Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ der Strecke $[AC]$:

$m_1=\displaystyle \frac{5+0}{2}=2{,}5\quad$und

$m_2=\displaystyle \frac{-4+4}{2}=0\quad\;$und

$m_3=\displaystyle \frac {-3+3}{2}=0$

$M(2{,}5|0|0)$ ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke $[AC]$.

(2 BE)

Für eine Dreiecksfläche gilt:

$A_\triangle=\displaystyle \frac12 \cdot \text {Grundlinie} \cdot \text{Höhe}$

Beide Dreiecke haben eine gleich lange Grundlinie

$\mathrm{\overline {AM}}=\mathrm{\overline {MC}}=\frac 12 \cdot \overline {AC}$

und die gleiche dazugehörige Höhe, den Abstand des Punktes $B$ von der Grundlinie.

Somit haben die Dreiecke $BCM$ und $ABM$ den gleichen Flächeninhalt.