Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

(3 BE)

Gegeben sind die drei Eckpunkte $A(5|-4|-3)$, $B(5|4|3)$ und $C(0|4|3)$ eines Rechtecks $ABCD$. Die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ und des Mittelpunktes der Diagonalen $[AC]$ sind zu berechnen.

Was du als gegeben betrachten darfst:

Der Innenwinkel $\beta$ beim Eckpunkt $B$

beträgt $90°$. (Sonst würde $ABCD$ kein Rechteck ergeben können!)

Da Gegenseiten im Rechteck parallel und gleich lang sind, erhältst du den Eckpunkt $D$ so:

$D(0|-4|-3)$ ist der gesuchte vierte Eckpunkt des Vierecks.

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte der Strecke.

Also gilt für den gesuchten Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ der Strecke $[AC]$:

$m_1=\displaystyle \frac{5+0}{2}=2{,}5\quad$und

$m_2=\displaystyle \frac{-4+4}{2}=0\quad\;$und

$m_3=\displaystyle \frac {-3+3}{2}=0$

$M(2{,}5|0|0)$ ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke $[AC]$.

(2 BE)

Für eine Dreiecksfläche gilt:

$A_\triangle=\displaystyle \frac12 \cdot \text {Grundlinie} \cdot \text{Höhe}$

Beide Dreiecke haben eine gleich lange Grundlinie

$\mathrm{\overline {AM}}=\mathrm{\overline {MC}}=\frac 12 \cdot \overline {AC}$

und die gleiche dazugehörige Höhe, den Abstand des Punktes $B$ von der Grundlinie.

Somit haben die Dreiecke $BCM$ und $ABM$ den gleichen Flächeninhalt.

(2 BE)

Setze den Punkt $P(\color{red}{p}|\color{red}{p}|\color{red}{p}\color{black}{)}$ in die Ebenengleichung $3x_1+2x_2+2x_3=6$ von $E$ ein und löse die Gleichung nach $p$ auf.

Der Punkt $P(\frac67|\frac67|\frac67)$ liegt auf der Ebene $E$.

(3 BE)

So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:

Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf derselben Geraden

Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen $g$ (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Alternative Begründung

Keine der unendlich vielen Ebenen $E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c$ mit $c\neq0$ und $n_1+n_2+n_3=0$ enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.

Denn kein Punkt $P(p|p|p)$ erfüllt die Ebenengleichung:

Es soll aber $c\neq 0$ sein!

Anmerkung

Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ist genau dann zu einer Ebene $E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c$ echt parallel, wenn $c\neq 0$ und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Wenn also gilt:

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