2Verträglichkeit der Addition

Beginnen wir mit der Addition von Vektoren: Wann verträgt sich eine Funktion $f:V\to W$ mit den Additionen $+_{_{V}}$ und $+_{_{W}}$ auf den jeweiligen Vektorräumen $V$ und $W$? Hier kann man folgende Hypothese aufstellen:

Eine Abbildung ist verträglich mit der Addition, wenn eine Summe durch die Abbildung erhalten bleibt. Wenn also $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ im Vektorraum $V$ eine Summe ist, so bilden auch die Bilder von $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ im Vektorraum $W$ eine entsprechende Summe: $f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Eine mit der Addition verträgliche Abbildung erfüllt somit für alle $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$die Implikation:

$v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}\implies f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Diese Implikation kann in einer Gleichung zusammengefasst werden, indem die Prämisse $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ in die zweite Gleichung eingsetzt wird. Es soll also für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gelten:

$f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Diese Gleichung beschreibt die charakteristische Eigenschaft der linearen Abbildung, verträglich zur Vektoraddition zu sein. Wir können sie auch gut für Abbildungen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ visualisieren. Eine Abbildung verträgt sich genau dann mit der Addition, wenn das durch die Vektoren $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ gegebene Dreieck im Definitionsbereich durch die Abbildung erhalten bleibt. Sprich: Auch die drei Vektoren $f(v_{1})$, $f(v_{2})$ und $f(v_{3})=f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})$ bilden ein (Additions-)Dreieck:

Wenn $f$ sich nicht mit der Addition verträgt, gibt es Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ mit $f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})\neq f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$. Das durch $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ erzeugte Dreieck bleibt dann nicht erhalten, weil die Dreiecksseite $v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ des Ausgangsdreiecks nicht auf die Dreiecksseite $f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$ des Zieldreiecks abgebildet wird: