5Definition

Seien $\color {Orange}V$ und $\color {Purple}W$ Vektorräume über demselben Körper $K$. Dabei seien ${\color{Orange} +_{{}_V}} \colon {\color{Orange}V} \times {\color{Orange}V} \to {\color{Orange}V}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen. Weiter seien ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W}$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von $\color{Orange}V$ nach ${\color {Purple}W}$, wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

1. Additivität: Für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gilt, dass $f\left(v_{1}{\color {Orange}+_{{}_{V}}}v_{2}\right)=f(v_{1}){\color {Purple}+_{{}_{W}}}f(v_{2})$

2. Homogenität: Für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gilt, dass $f(\lambda {\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}v)=\lambda {\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}f(v)$

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „$+$“ anstatt ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}$. Ebenso wird häufig „ $\cdot$ “ anstelle von ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.