9Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f(x)= mx + t$ mit $m,t \in \R$ eingeführt. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t = 0$. So ist zum Beispiel für $m = 1$ und $t = 2$:

$f(x+y)= x + y + 2 \neq x + y + 2 + 2 = f(x) + f(y)$

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f: \R \to \R$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f(x)= mx$ mit $m \in \R$. Die Funktionen der Form $f(x)= m x + t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $t$

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x \mapsto A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x \mapsto L(x)$ und eine Translation $x \mapsto x + t$ zerlegen. Es gilt also $A(x) = L(x) + t$. Weil die Translationen $x \mapsto x + t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x + t$ mitzuschleppen.