9Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f(x)=mx+tf(x)=\; mx\; +\; t$ mit $m,t\in \mathbb{R}m,t\; \backslash in\; \backslash R$ eingeführt. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t=0t\; =\; 0$. So ist zum Beispiel für $m=1m\; =\; 1$ und $t=2t\; =\; 2$:

$f(x+y)=x+y+2\mathrm{\ne }x+y+2+2=f(x)+f(y)f(x+y)=\; x\; +\; y\; +\; 2\; \backslash neq\; x\; +\; y\; +\; 2\; +\; 2\; =\; f(x)\; +\; f(y)$

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f:\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f(x)=mxf(x)=\; mx$ mit $m\in \mathbb{R}m\; \backslash in\; \backslash R$. Die Funktionen der Form $f(x)=mx+tf(x)=\; m\; x\; +\; t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $tt$

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x\mapsto A(x)x\; \backslash mapsto\; A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x\mapsto L(x)x\; \backslash mapsto\; L(x)$ und eine Translation $x\mapsto x+tx\; \backslash mapsto\; x\; +\; t$ zerlegen. Es gilt also $A(x)=L(x)+tA(x)\; =\; L(x)\; +\; t$. Weil die Translationen $x\mapsto x+tx\; \backslash mapsto\; x\; +\; t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x+tx\; +\; t$ mitzuschleppen.