Beweischschrit: Wenn $g$ linear ist, ist $t=0$.

Sei zunächst $g$ eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss $g(0)=0$ gelten. Nun ist $g(0)=t$ und damit muss $t=0$ sein.

Beweisschritt: Wenn $t=0$ ist, ist $g$ linear.

Sei nun $t=0$. Wir zeigen $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $x\mapsto m\cdot x$ ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien $x$ und $y$ zwei beliebige reele Zahlen. Es ist

Beweisschritt: Homogenität

Sei $x$ und $\lambda$ zwei reele Zahlen. Es ist

Also ist $g$ genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0$ ist.