7Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f(x)=mx+t$ mit $m,t\in \mathbb {R}$ eingeführt. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t=0$. So ist zum Beispiel für $m=1$ und $t=2$:

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f(x)=mx$ mit $m\in \mathbb {R}$. Die Funktionen der Form $f(x)=mx+t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $t$.

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x\mapsto A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x\mapsto L(x)$ und eine Translation $x\mapsto x+t$ zerlegen. Es gilt also $A(x)=L(x)+t$. Weil die Translationen $x\mapsto x+t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x+t$ mitzuschleppen.