3Satz

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_1,\dots,v_n \in V$ und $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K$ gilt:

$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_W}f\left(v_i\right)$