Lineare Abbildungen und Erhaltung von Linearkombinationen

1 Einführung

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}f(v_1 + v_2) &= f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) &= \lambda \cdot f(v) \end{array}

2 Beispiel

Wir können auf eine Linearkombination wie $3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z$ für Vektoren $u, w$ und $z$ aus $V$ die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:

$\displaystyle f(3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z)$	$=$
	↓	Additivität von $f$
	$=$	$\displaystyle f(3\cdot u) + f(5\cdot w -2 \cdot z)$
	↓	Additivität von $f$
	$=$	$\displaystyle f(3\cdot u) + f(5\cdot w) + f(-2 \cdot z)$
	↓	Homogenität von $f$
	$=$	$\displaystyle 3\cdot f(u) + 5\cdot f(w) -2 \cdot f(z)$

Die Linearkombination $3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z$ wird durch $f$ auf $3\cdot f(u)+5\cdot f(w)-2\cdot f(z)$ abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft $f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})$ sind Summen und durch die Eigenschaft $f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v)$ sind skalare Multiplikationen herausziehbar.

Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

3 Satz

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_1,\dots,v_n \in V$ und $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K$ gilt:

$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_W}f\left(v_i\right)$

4 Wie kommt man auf den Beweis

Lösungsweg

Wir wollen zeigen, dass für alle $v_i \in V$ und $\lambda_i \in K$ gilt:

$f\bigg(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot_{V}v_{i}\bigg) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} \cdot_{W}f(v_{i}) \iff f$ ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zunutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass $f$ eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.

5 Beweis

Beweisschritt 1 $\left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)\implies f$ ist eine lineare Abbildung.

Seien $v,v_1,v_2 \in V$ und $\lambda \in K$ . Die beiden Terme $v_{1} + v_{2}$ und $\lambda \cdot v$ sind zwei Linearkombinationen in $V$ . Wenn wir diese in die Formel $f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$ einsetzen, so erhalten wir

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c l} f(v_1 + v_2) & = f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) & = \lambda \cdot f(w) \end{array}$

Damit erfüllt $f$ die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt 2

$f$ ist eine lineare Abbildung $\implies \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)$ .

Sei $f$ eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über $n$ :

Wir zeigen für $n\in\N$ , dass $\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsanfang: Wir fangen die Induktion bei $n = 1$ an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c l} & f \left( \lambda_1 \cdot_{{}_V} v_1 \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.3em] = & \lambda_1 \cdot_{{}_W} f \left( v_1 \right) \end{array}$

Induktionsvoraussetzung: $\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsbehauptung: $\forall v_1,\dots,v_n,v_{n+1} \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1} \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsschritt: Seien $v_1,\dots,v_{n+1} \in V$ und $\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1} \in K$ . Dann

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c l} & f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe aufteilen} \right.} \\[0.3em] = & f \left( \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_V} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Additivität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} f\left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Induktionsannahme} \right.} \\[0.5em] = & \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe zusammenfassen} \right.} \\[0.5em] = & \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \end{array}$