Lösung Teilaufgabe 1.1

Zur Berechnung der Strecke benötigst du den Cosinussatz.

Zur Berechnung des Maßes des Winkels $\sphericalangle DBA$ benötigst du den Sinussatz.

Lösung Teilaufgabe 1.2

Die Winkel $\sphericalangle BAC$ und $\sphericalangle DCA$ sind Wechselwinkel an den zueinander parallelen Geraden AB und CD. Folglich gilt: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA=\mathrm{51,98}$°

Lösung Teilaufgabe 1.3

Das ${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}$ setzt sich zusammen aus dem ${\text{Dreieck}}_{\text{ACD}}$ und dem ${\text{Dreieck}}_{\text{ABC}}$

Berechne die Fläche der beiden Dreiecke und und addiere die Flächen.

${\text{A}}_{ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot sin\sphericalangle CAD\cdot \overline{AD}\cdot \overline{AC}\sphericalangle CAD=100°-\mathrm{51,98}°=\mathrm{48,02}°$

${\text{A}}_{ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot sin\mathrm{48,02}°\cdot 8cm\cdot 10cm$

${\text{A}}_{ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,7434}\cdot 80c{m}^2$

${\text{A}}_{ACD}=\mathrm{29,74}c{m}^2$

${\text{A}}_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot sin\sphericalangle BAC\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}$

${\text{A}}_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot sin\mathrm{51,98}°\cdot 10cm\cdot 10cm$

${\text{A}}_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,7878}\cdot 100c{m}^2$

${\text{A}}_{ABC}=\mathrm{39,39}c{m}^2$

${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}=\mathrm{29,74}c{m}^2+\mathrm{39,39}c{m}^2$

${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}=\mathrm{69,13}c{m}^2$

Lösung Teilaufgabe 1.4

Lösung Teilaufgabe 1.5

Berechne den Flächeninhalt der ${\text{Figur}}_{FBE}$

Die ${\text{Figur}}_{FBE}$ setzt sich zusammen aus einem dem ${\text{Dreieck}}_{\text{MBE}}$ und dem ${\text{Kreissektor}}_{\text{FME}}$

Berechne die Fläche des ${\text{Kreissektors}}_{FME}$

$\begin{array}{l}{\text{A}}_{\text{FME}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle FME}{{360}^{\circ }}}\cdot {\overline{ME}}^2\cdot \pi \overline{ME}=\overline{MB}\cdot \sin \sphericalangle ABD\\ \overline{ME}=5cm\cdot \sin {\mathrm{34,67}}^{\circ }\\ \overline{ME}=5cm\cdot \mathrm{0,5688}\\ \overline{ME}=\mathrm{2,84}cm\end{array}$

${\text{A}}_{\text{FME}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{124,67}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot {(\mathrm{2,84}cm)}^2\cdot \pi$

${\text{A}}_{\text{FME}}=\mathrm{8,77}c{m}^2$

Berechne die Fläche des ${\text{Dreiecks}}_{\text{MBE}}$

${\text{A}}_{\text{MBE}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sin \sphericalangle EMB\cdot \overline{ME}\cdot \overline{MB}$

${\text{A}}_{\text{MBE}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sin \sphericalangle \mathrm{55,33}°\cdot \mathrm{2,84}cm\cdot 5cm$

${\text{A}}_{\text{MBE}}=\mathrm{5,84}c{m}^2$

Addiere die beiden Flächen

${\text{A}}_{\text{FBE}}={\text{A}}_{\text{FME}}+{\text{A}}_{\text{MBE}}$

${\text{A}}_{\text{FBE}}=\mathrm{8,77}c{m}^2+\mathrm{5,84}c{m}^2$

${\text{A}}_{\text{FBE}}=\mathrm{14,61}c{m}^2$

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts ${\text{A}}_{FBE}$​ der Figur $FBE$ am Flächeninhalt ${\text{A}}_{\text{ABCD}}$​ des Vierecks $ABCD.$

${\text{Anteil}}_{Prozent}={\displaystyle \frac{{\text{A}}_{\text{FBE}}}{{\text{A}}_{\text{ABCD}}}}\cdot 100\%$

${\text{Anteil}}_{Prozent}={\displaystyle \frac{\mathrm{14,61}c{m}^2}{\mathrm{69,12}c{m}^2}}\cdot 100\%$

${\text{Anteil}}_{Prozent}=\mathrm{21,14}\%$

Lösung Teilaufgabe 1.6

$\sphericalangle CGD=180°-\mathrm{51,98}°-\mathrm{34,67}°\Rightarrow \sphericalangle CGD=\mathrm{93,35}°$

Wegen $\sphericalangle CGD\ne 90°$ gilt: $\overline{DG}>d(D;[AC])$.