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Die Aufgabenstellung findest Du hier zum Ausdrucken als PDF.

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    Nebenstehende Skizze zeigt das Viereck ABCDABCD, für das gilt: AB=AC=10 cm;AD=8 cm;BAD=100°;[AB][CD] \overline {AB}=\overline {AC}=10\ \textrm{cm};\overline {AD}=8\ \textrm{cm}; \measuredangle BAD=100°; [AB]||[CD].

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Viereck ABCDABCD mit den Diagonalen [AC][AC] und [BD][BD]. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [BD][BD] sowie das Maß des Winkels DBADBA.

      [[Ergebnis: BD=13,8  5cm;DBA=34,67°\overline{BD}=13{,}8\;5\text{cm};\measuredangle DBA=34{,}67°]]

    2. Berechnen Sie das Maß des Winkels DCADCA und begründen Sie, dass gilt:

      BAC=DCA=51,98°\measuredangle BAC=\measuredangle DCA= 51{,}98°

    3. Berechnen Sie den Flächeninhalt AABCDA_{ABCD} des Vierecks ABCDABCD.

      [[Ergebnis: AABCD=69,12  cm2A_{ABCD}=69{,}12 \;\textrm{cm}^2]]

    4. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [AB][AB]. Ein Kreis um MM berührt die Strecke [BD][BD] im Punkt EE und schneidet die Strecke [AM][AM] im Punkt FF.

      Ergänzen Sie die Zeichnung zur Teilaufgabe a) um die Strecke [ME][ME] und den Kreisbogen EF\overset\frown{EF} mit dem Mittelpunkt MM.

    5. Die Strecken [FB][FB] und [BE][BE] sowie der Kreisbogen EF\overset\frown{EF} legen die Figur FBEFBE fest. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts FFBEF_{FBE} der Figur FBEFBE am Flächeninhalt AABCDA_{ABCD} des Vierecks ABCDABCD.

      [[Zwischenergebnis: ME=2,84  cm\overline {ME}= 2{,}84\;\textrm{cm}]]

    6. Der Punkt GG ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCDABCD. Berechnen Sie das Maß des Winkels CGDCGD. Begründen Sie sodann, dass gilt: GD>d(D;[AC])\overline{GD}>d(D;[AC]).

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    Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.

    Es gilt: AC=13  cm;BD=12  cm;MS=12  cm\overline {AC}= 13\; \textrm{cm};\overline{ BD}= 12\;\textrm{cm} ;\overline {MS}= 12 \;\textrm{cm}. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A A links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45°q=\frac{1}{2} ;\omega =45°. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS][CS] und das Maß des Winkels SCASCA. [[Teilergebnis: CS=13,65  cm\overline{CS}=13{,}65\;\textrm{cm}]]

    2. Punkte HnH_n liegen auf der Strecke [AM][AM] mit AHn(x)=xcm  (xR;0<x<6,5)\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6{,}5). Sie sind Mittelpunkte von Strecken [PnQn][P_nQ_n] mit Pn[AB],Qn[AD]P_n \in [AB], Q_n\in [AD] und [PnQn][BD][P_nQ_n]\parallel[BD]. Punkte RnR_n sind Spitzen von Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n mit den Grundflächen APnCQnAP_nCQ_nund den Höhen [HnRn][H_nR_n], wobei gilt: CRn=CS\overline {CR_n}=\overline{CS}.

      Zeichnen Sie die Pyramide AP1CQ1R1AP_1CQ_1R_1 und die zugehörige Höhe [H1R1][H_1R_1] für x=3\textrm{x}=3 in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V1V_1 der Pyramide APnCQnRnAP_nCQ_nR_n gilt:

      V1=111,51  cm3V_1= 111{,}51\;\textrm{cm}^3.

      Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens V1V_1 am Volumen VVder Pyramide ABCDSABCDS.

    4. In der Pyramide AP2CQ2R2AP_2CQ_2R_2 gilt: H2R2=6  cm\overline{H_2R_2}=6\;\textrm{cm}.

      Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für x\textrm{x}.

    5. Zeigen Sie, dass für die Höhen [HnRn][H_nR_n] der Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n in Abhängigkeit von x\textrm{x} gilt: HnRn(x)=-x2+26x+17,32cm\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17{,}32}\, \textrm{cm}.

    6. Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n keine Pyramide AP3CQ3R3AP_3CQ_3R_3mit R3CA=15°\measuredangle{R_3CA}=15° gibt.


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