Nachtermin Teil B

Lösung Teilaufgabe a

Zur Berechnung des Maßes des Winkels $\sphericalangle DBA$ benötigst du den Sinussatz.

Lösung Teilaufgabe b

Die Winkel $\sphericalangle BAC$ und $\sphericalangle DCA$ sind Wechselwinkel an den zueinander parallelen Geraden AB und CD. Folglich gilt: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA=\mathrm{51,98}$°

Lösung Teilaufgabe c

Das ${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}$ setzt sich zusammen aus dem ${\text{Dreieck}}_{\text{ACD}}$ und dem ${\text{Dreieck}}_{\text{ABC}}$.

Berechne die Fläche der beiden Dreiecke und addiere die Flächen.

$\begin{array}{l}{\text{A}}_{ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sin \sphericalangle CAD\cdot \overline{AD}\cdot \overline{AC}\\ \end{array}$

wobei $\sphericalangle CAD=100°-\mathrm{51,98}°=\mathrm{48,02}°$

${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}=\sin \mathrm{48,02}°\cdot 40{\text{cm}}^2+\sin \mathrm{51,98}°\cdot 50{\text{cm}}^2$

${\text{Viereck}}_{\text{ABCD}}=\mathrm{69,12}{\text{cm}}^2$

Lösung Teilaufgabe d

Lösung Teilaufgabe e

Berechne den Flächeninhalt der ${\text{Figur}}_{FBE}$

Die ${\text{Figur}}_{FBE}$ setzt sich zusammen aus einem dem ${\text{Dreieck}}_{\text{MBE}}$ und dem ${\text{Kreissektor}}_{\text{FME}}$

Berechne die Fläche des ${\text{Kreissektors}}_{FME}$

$\begin{array}{l}{\text{A}}_{\text{FME}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle FME}{{360}^{\circ }}}\cdot {\overline{ME}}^2\cdot \pi \overline{ME}=\overline{MB}\cdot \sin \sphericalangle ABD\\ \overline{ME}=5\text{cm}\cdot \sin {\mathrm{34,67}}^{\circ }\\ \overline{ME}=5\text{cm}\cdot \mathrm{0,5688}\\ \overline{ME}=\mathrm{2,84}\text{cm}\end{array}$

${\text{A}}_{\text{FME}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{124,67}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot {(\mathrm{2,84}\text{cm})}^2\cdot \pi$

${\text{A}}_{\text{FME}}=\mathrm{8,77}{\text{cm}}^2$

Berechne die Fläche des ${\text{Dreiecks}}_{\text{MBE}}$

Addiere die beiden Flächen

${\text{A}}_{\text{FBE}}={\text{A}}_{\text{FME}}+{\text{A}}_{\text{MBE}}$

${\text{A}}_{\text{FBE}}=\mathrm{8,77}{\text{cm}}^2+\mathrm{5,84}{\text{cm}}^2$

${\text{A}}_{\text{FBE}}=\mathrm{14,61}{\text{cm}}^2$

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts ${\text{A}}_{FBE}$​ der Figur $FBE$ am Flächeninhalt ${\text{A}}_{\text{ABCD}}$​ des Vierecks $ABCD.$

${\text{Anteil}}_{Prozent}={\displaystyle \frac{{\text{A}}_{\text{FBE}}}{{\text{A}}_{\text{ABCD}}}}\cdot 100\%$

${\text{Anteil}}_{Prozent}={\displaystyle \frac{\mathrm{14,61}{\text{cm}}^2}{\mathrm{69,12}{\text{cm}}^2}}\cdot 100\%$

${\text{Anteil}}_{Prozent}=\mathrm{21,14}\%$

Lösung Teilaufgabe f

$\sphericalangle CGD=180°-\mathrm{51,98}°-\mathrm{34,67}°\Rightarrow \sphericalangle CGD=\mathrm{93,35}°$

Wegen $\sphericalangle CGD\ne 90°$ gilt: $\overline{DG}>d(D;[AC])$.

Teilaufgabe a

Länge der Strecke $[CS]$:

$\overline{CS}=\sqrt{(\mathrm{0,5}\cdot 13{)}^2+{12}^2}\text{cm}=\mathrm{13,65}\text{cm}$

Maß des Winkels $SCA$:

$\tan \left(\measuredangle SCA\right)={\displaystyle \frac{12\text{cm}}{\mathrm{6,5}\text{cm}}}$ |$\cdot {\tan }^{-1}$

$\measuredangle SCA\approx \mathrm{61,56}°$

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Volumen $V_1$ der Pyramide $A{P}_{1}C{Q}_1{R}_1:$ $V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:

$A_{APQ}$ + $A_{PCQ}$.

• Dafür fehlt die Länge $\overline{P_1{Q}_1}$.

$\overline{P_1{Q}_1}$ über den Strahlensatz: $\frac{\overline{BD}}{\overline{P_1{Q}_1}}=\frac{\overline{AM}}{\overline{AH}}$

$\overline{P_1{Q}_1}={\displaystyle \frac{\overline{BD}\cdot \overline{AH}}{\overline{P_1{Q}_1}AM}}={\displaystyle \frac{12\text{cm}\cdot 3\text{cm}}{\mathrm{6,5}\text{cm}}}\approx \mathrm{5,54}\text{cm}$

• Flächenberechnung der Dreiecke:

  • $A_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot \overline{P_1{Q}_1}\cdot \overline{AH}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{5,54}\cdot 3\approx \mathrm{8,31}c{m}^2$

  • $A_{PCQ}=\frac{1}{2}\cdot \overline{P_1{Q}_1}\cdot \overline{HC}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{5,54}\cdot 10\approx \mathrm{27,70}c{m}^2$

• Grundfläche $G=A_{APQ}+A_{PCQ}=\mathrm{36,01}c{m}^2$

Höhe $[H_1{R}_1]$ im rechtwinkligen Dreieck $HCR$ mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{H_1{R}_1}=\sqrt{{\overline{CR}}^2-{\overline{HC}}^2}=\sqrt{{\left(\mathrm{13,65}\right)}^2-{(13-3)}^2}\text{cm}\approx \mathrm{9,29}\text{cm}$

(Achtung: $\overline{CR}=\overline{CS}$)

$V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{36,01}{\text{cm}}^2\cdot \mathrm{9,29}\text{cm}\approx \mathrm{111,51}{\text{cm}}^3$

Volumen der Pyramide $ABCDS$:

$V_{BDSC}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 72{\text{cm}}^2\cdot \mathrm{6,5}\text{cm}=156{\text{cm}}^3$

$V_{ABCDS}=156c{m}^3\cdot 2=312c{m}^3$

Der prozentuale Anteil des Volumens $V_1$ am Volumen V:

${\displaystyle \frac{V_1}{V}}\cdot 100\%={\displaystyle \frac{\mathrm{111,51}{\text{cm}}^3}{312{\text{cm}}^3}}\cdot 100\%\approx \mathrm{35,74}\%$

Teilaufgabe d

Der Wert $x$ in der Pyramide $A{P}_{2}C{Q}_2{R}_2$ mit $\overline{H_2{R}_2}=6\text{cm}$:

Im rechtwinkligen Dreieck $HCR$ kann man $\overline{C{H}_2}$ über den Satz des Pythagoras ermitteln.

$\overline{C{H}_2}=\sqrt{{\overline{AC}}^2-{\overline{H_2{R}_2}}^2}=\sqrt{{\left(\mathrm{13,65}\right)}^2-6^2}\text{cm}\approx \mathrm{12,26}\text{cm}$

$x=\overline{A{H}_2}=\overline{AC}-\overline{C{H}_2}=(13-\mathrm{12,26})\text{cm}$

Für die Pyramide $A{P}_{2}C{Q}_2{R}_2$ gilt folglich: $x=\mathrm{0,74}$.

Teilaufgabe e

$\overline{H_n{R}_n}\left(x\right)=\sqrt{-x^2+26x+\mathrm{17,32}}\text{cm}$

Im Dreieck $HCR$ mit dem Satz des Pythagoras:

Teilaufgabe f

Wenn es eine Pyramide mit $\measuredangle R_{3}CA=15°$ gäbe, dann würde gelten: $\cos \left(15°\right)={\displaystyle \frac{\overline{C{H}_3}}{\mathrm{13,65}\text{cm}}}$ und damit ist $\overline{C{H}_3}\approx \mathrm{13,18}\text{cm}.$

$\overline{C{H}_3}$ wäre damit länger als $\overline{AC}$. Dies kann aber nicht sein, da dann $H_3\notin \overline{AM}$ wäre.