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Aufgaben
1.0 Nebenstehende Skizze zeigt das Viereck ABCDABCD, für das gilt: AB=AC=10 cm;AD=8 cm;BAD=100°;[AB][CD] \overline {AB}=\overline {AC}=10\ \textrm{cm};\overline {AD}=8\ \textrm{cm}; \measuredangle BAD=100°; [AB]||[CD]. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Viereck
1.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD mit den Diagonalen [AC][AC] und [BD][BD]. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [BD][BD] sowie das Maß des Winkels DBADBA.
[Ergebnis: BD=13,85cm;DBA=34,76°\overline {BD}=13,85 \textrm{cm};\measuredangle DBA=34,76°]
1.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels DCADCA und begründen Sie, dass gilt:
BAC=DCA=51,98°\measuredangle BAC=\measuredangle DCA= 51,98°
1.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt AABCDA_{ABCD} des Vierecks ABCDABCD.
[Ergebnis: AABCD=69,12cm2A_{ABCD}=69,12 \textrm{}cm^2]
1.4 Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [AB][AB]. Ein Kreis um MM berührt die Strecke [BD][BD] im Punkt EE und schneidet die Strecke [AM][AM] im Punkt FF.
Ergänzen Sie die Zeichnung zu 1.1 um die Strecke [ME][ME] und den Kreisbogen EF^\widehat{EF} mit dem Mittelpunkt MM.
1.5 Die Strecken [FB][FB] und [BE][BE] sowie der Kreisbogen EF^\widehat{EF} legen die Figur FBEFBE fest. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts FFBEF_{FBE} der Figur FBEFBE am Flächeninhalt AABCDA_{ABCD} des Vierecks ABCDABCD.
[Zwischenergebnis: ME=2,84cm\overline {ME}= 2,84\textrm{cm}]
1.6 Der Punkt GG ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCDABCD. Berechnen Sie das Maß des Winkels CGDCGD. Begründen Sie sodann, dass gilt: GD>d(D;[AC])\overline{GD}>d(D;[AC]).
2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundflächedie Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.
Es gilt: AC=13cm;BD=12cm;MS=12cm\overline {AC}= 13 \textrm{cm};\overline{ BD}= 12\textrm{cm} ;\overline {MS}= 12 \textrm{cm}. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A A links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45°q=\frac{1}{2} ;\omega =45°. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS][CS] und das Maß des Winkels SCASCA. [Teilergebnis: CS=13,65cm\overline{CS}=13,65\textrm{cm}]
2.2 Punkte HnH_n liegen auf der Strecke [AM][AM] mit AHn(x)=xcm(xR;0<x<6,5)\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6,5). Sie sind Mittelpunkte von Strecken [PnQn][P_nQ_n] mit Pn[AB],Qn[AD]P_n \in [AB], Q_n\in [AD] und [PnQn][BD][P_nQ_n]|[BD]. Punkte RnR_n sind Spitzen von Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n mit den Grundflächen APnCQnAP_nCQ_nund den Höhen [HnRn][H_nR_n], wobei gilt: CRn=CS\overline {CR_n}=\overline{CS} . Zeichnen Sie die Pyramide AP1CQ1R1AP_1CQ_1R_1 und die zugehörige Höhe [H1R1][H_1R_1] für x=3\textrm{x}=3 in das Schrägbild zu 2.1 ein.
2.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V1V_1 der Pyramide APnCQnRnAP_nCQ_nR_n gilt: V1=111,51cm3V_1= 111,51\textrm{cm}^3. Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens V1V_1 am Volumen VV der Pyramide ABCDSABCDS.
2.4 In der Pyramide AP2CQ2R2AP_2CQ_2R_2 gilt: H2R2=6cm\overline{H_2R_2}=6\textrm{cm}. Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für x\textrm{x}.
2.5 Zeigen Sie, dass für die Höhen [HnRn][H_nR_n] der Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n in Abhängigkeit von x\textrm{x} gilt: HnRn(x)=-x2+26x+17,32cm\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17,32}\, \textrm{cm}.
2.6 Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n keine Pyramide AP3CQ3R3AP_3CQ_3R_3 mit R3CA=15°\measuredangle{R_3CA}=15° gibt.
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