Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest Du hier zum Ausdrucken als PDF.

Nebenstehende Skizze zeigt das Viereck $A B C D$ , für das gilt: $\overline {AB}=\overline {AC}=10\ \textrm{cm};\overline {AD}=8\ \textrm{cm}; \measuredangle BAD=100°; [AB]||[CD]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ mit den Diagonalen $[A C]$ und $[B D]$ . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[B D]$ sowie das Maß des Winkels $D B A$ .

$[$ Ergebnis: $\overline{BD}=13{,}8\;5\text{cm};\measuredangle DBA=34{,}67°$ $]$

Berechnen Sie das Maß des Winkels $D C A$ und begründen Sie, dass gilt:

$\measuredangle BAC=\measuredangle DCA= 51{,}98°$

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $A B C D$ .

$[$ Ergebnis: $A_{ABCD}=69{,}12 \;\textrm{cm}^2$ $]$

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ . Ein Kreis um $M$ berührt die Strecke $[B D]$ im Punkt $E$ und schneidet die Strecke $[A M]$ im Punkt $F$ .
Ergänzen Sie die Zeichnung zur Teilaufgabe a) um die Strecke $[M E]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ mit dem Mittelpunkt $M$ .

Lösung Teilaufgabe d
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Die Strecken $[F B]$ und $[B E]$ sowie der Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ legen die Figur $F B E$ fest. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts $F_{FBE}$ der Figur $F B E$ am Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $A B C D$ .

$[$ Zwischenergebnis: $\overline {ME}= 2{,}84\;\textrm{cm}$ $]$

Lösung Teilaufgabe e

Berechne den Flächeninhalt der $\text{Figur}_{FBE}$

Die $\text{Figur}_{FBE}$ setzt sich zusammen aus einem dem $\text{Dreieck}_\text{MBE}$ und dem $\text{Kreissektor}_\text{FME}$

Berechne die Fläche des $\text{Kreissektors}_{FME}$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ \dfrac{\sphericalangle FME}{360^\circ}\cdot\overline{ME}^2\cdot\pi\hspace{28mm}\overline{ME}\ =\ \overline{MB}\cdot\sin\sphericalangle ABD\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 5\;\text{cm}\cdot\sin 34{,}67^\circ\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 5\;\text{cm}\cdot 0{,}5688\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 2{,}84\;\text{cm}$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ \dfrac{124{,}67^\circ}{360^\circ}\cdot{(2{,}84\;\text{cm})}^2\cdot\pi$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ 8{,}77\;\text{cm}^2$

Berechne die Fläche des $\text{Dreiecks}_\text{MBE}$

$\displaystyle \text{A}_\text{MBE}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin\sphericalangle{EMB}\cdot\overline{ME}\cdot\overline{MB}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin{55{,}33°}\cdot{2{,}84\;\text{cm}}\cdot{5\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle \ 5{,}84\;\text{cm}^2$

Addiere die beiden Flächen

$\text{A}_\text{FBE}\ =\ \text{A}_\text{FME}\ +\ \text{A}_\text{MBE}$

$\text{A}_{\text{FBE}}\ =\ 8{,}77\;\text{cm}^2\ +\ 5{,}84\;\text{cm}^2$

$\text{A}_\text{FBE}\ =\ 14{,}61\;\text{cm}^2$

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts $\text{A}_{FBE}$ der Figur $F B E$ am Flächeninhalt $\text{A}_\text{ABCD}$ des Vierecks $A B C D .$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ \dfrac{\text{A}_\text{FBE}}{\text{A}_\text{ABCD}}\cdot100\%$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ \dfrac{14{,}61\;\text{cm}^2}{69{,}12\;\text{cm}^2}\cdot100\;\%$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ 21{,}14\;\%$

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Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks $A B C D$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $C G D$ . Begründen Sie sodann, dass gilt: $\overline{GD}>d(D;[AC])$ .

Lösung Teilaufgabe f
$\sphericalangle CGD \ =\ 180°-51{,}98°-34{,}67°\qquad\Rightarrow\qquad \sphericalangle CGD \ =\ \ 93{,}35°$
Wegen $\sphericalangle CGD \neq\ 90°$ gilt: $\ \ \overline{DG} > d(D;[AC])$ .
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Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ , deren Grundfläche die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist.

Es gilt: $\overline {AC}= 13\; \textrm{cm};\overline{ BD}= 12\;\textrm{cm} ;\overline {MS}= 12 \;\textrm{cm}$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=\frac{1}{2} ;\omega =45°$ . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[C S]$ und das Maß des Winkels $S C A$ . $[$ Teilergebnis: $\overline{CS}=13{,}65\;\textrm{cm}$ $]$
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ :
$[AC]=13\;\text{cm}$
Gerade $g$ mit $\measuredangle CMD=45°$
Da $q=\frac{1}{2}$ ist, ist die Strecke $[M D]$ = $[B M]$ auf der Zeichnung $3\;\text{cm}$ lang (siehe nächste Abbildung rot)

Die Eckpunkte werden nun miteinander verbunden, so erhältst du die Grundfläche der Pyramide.
$\measuredangle CMS=\measuredangle SMA=90°$
$[MS]=12\;\text{cm}$
Pyramidenspitze $S$ wird nun mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden.
Länge der Strecke $[C S]$ :
$\overline {CS}=\sqrt{(0{,}5\cdot 13)^2+12^2}\;\text{cm}=13{,}65\;\text{cm}$
Maß des Winkels $S C A$ :
$\tan\left(\measuredangle SCA\right)=\dfrac{12\;\text{cm}}{6{,}5\;\text{cm}}$ | $\cdot\tan^{-1}$
$\measuredangle SCA\ \approx61{,}56°$
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Punkte $H_{n}$ liegen auf der Strecke $[A M]$ mit $\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6{,}5)$ . Sie sind Mittelpunkte von Strecken $[P_{n} Q_{n}]$ mit $P_n \in [AB], Q_n\in [AD]$ und $[P_nQ_n]\parallel[BD]$ . Punkte $R_{n}$ sind Spitzen von Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ mit den Grundflächen $A P_{n} C Q_{n}$ und den Höhen $[H_{n} R_{n}]$ , wobei gilt: $\overline {CR_n}=\overline{CS}$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1}$ und die zugehörige Höhe $[H_{1} R_{1}]$ für $\textrm{x}=3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe b
Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1}$ :
$\left[AH_n\right]\left(x\right)=3\;\text{cm}$ und $H$ liegt auf der Strecke $[A C]$ .
Fälle anschließend das Lot an $H$ auf $[A C]$ (nächste Abbildung).
$k (C; [S C])$ : Kreis um Mittelpunkt $C$ mit Radius $[S C]$ .
Die Lotgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt $R$ .
Zeichne eine parallele Gerade zu $[B D]$ mit dem Abstand $[HM] = 3{,}5 \;\text{cm}$ .
$Q$ ist der Schnittpunkt auf $[A D]$ und $P$ der Schnittpunkt auf $[A B]$ .
Eckpunkte verbinden.
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V_{1}$ der Pyramide $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ gilt:
$V_1= 111{,}51\;\textrm{cm}^3$ .
Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens $V_{1}$ am Volumen $V$ der Pyramide $A B C D S$ .
Teilaufgabe c
Volumen $V_{1}$ der Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1} :$ $V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:
$A_{APQ}$ + $A_{PCQ}$ .
Dafür fehlt die Länge $\overline {P_1Q_1}$ .
$\overline {P_1Q_1}$ über den Strahlensatz: $\frac{\overline {BD}}{\overline {P_1Q_1}}=\frac{\overline {AM}}{\overline {AH}}$
$\overline {P_1Q_1}=\dfrac{\overline {BD}\cdot\overline {AH}}{\overline {P_1Q_1}AM}=\dfrac{12\;\text{cm}\cdot3\;\text{cm}}{6{,}5\;\text{cm}}\approx5{,}54\;\text{cm}$
Flächenberechnung der Dreiecke:
$A_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot\overline {P_1Q_1}\cdot\overline {AH}=\frac{1}{2}\cdot5{,}54\cdot3\ \approx8{,}31\ cm^2$
$A_{PCQ}=\frac{1}{2}\cdot\overline {P_1Q_1}\cdot\overline {HC}=\frac{1}{2}\cdot5{,}54\cdot10\ \approx27{,}70\ cm^2$
Grundfläche $G=A_{APQ}+A_{PCQ}=36{,}01\ cm^2$
Höhe $[H_{1} R_{1}]$ im rechtwinkligen Dreieck $H C R$ mit dem Satz des Pythagoras:
$\overline {H_1R_1}=\sqrt{\overline {CR}^2-\overline {HC}^2}=\sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13-3\right)^2}\;\text{cm}\approx9{,}29\;\text{cm}$
(Achtung: $\overline {CR}=\overline {CS}$ )
$V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot36{,}01\;\text{cm}^2\cdot9{,}29\;\text{cm}\ \approx111{,}51\;\text{cm}^3$
Volumen der Pyramide $A B C D S$ :
Man kann die Pyramide in zwei Pyramiden teilen, mit der dreieckigen Grundfläche ( $A_{BSD}$ ) und Höhe $h$ .
$A_{BSD}=\frac{1}{2}\cdot\overline {BD}\cdot\overline {MS}$
$\phantom{A_{BSD}}=\frac{1}{2}\cdot12\;\text{cm}\cdot12\;\text{cm}$
$\phantom{A_{BSD}}=72\;\text{cm}^2$
$V_{BDSC}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 72\;\text{cm}^2\cdot 6{,}5\;\text{cm}= 156\;\text{cm}^3$
$V_{ABCDS}=156\ cm^3\cdot 2=312\ cm^3$
Der prozentuale Anteil des Volumens $V_{1}$ am Volumen V:
$\dfrac{V_1}{V}\cdot100\ \%=\dfrac{111{,}51\;\text{cm}^3}{312\;\text{cm}^3}\cdot100\ \%\ \approx35{,}74\ \%$
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In der Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ gilt: $\overline{H_2R_2}=6\;\textrm{cm}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$ .

Teilaufgabe d
Der Wert $x$ in der Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ mit $\overline {H_2R_2}= 6\;\text{cm}$ :
Im rechtwinkligen Dreieck $H C R$ kann man $\overline {CH_2}$ über den Satz des Pythagoras ermitteln.
$\overline {CH_2}=\sqrt{\overline {AC}^2-\overline {H_2R_2}^2}=\sqrt{\left(13{,}65\right)^2-6^2}\;\text{cm}\approx12{,}26\;\text{cm}$
$x=\overline {AH_2}=\overline {AC}-\overline {CH_2}=(13 -12{,}26)\;\text{cm}$
Für die Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ gilt folglich: $x = 0,74$ .
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Zeigen Sie, dass für die Höhen $[H_{n} R_{n}]$ der Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ gilt: $\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17{,}32}\, \textrm{cm}$ .

Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ keine Pyramide $A P_{3} C Q_{3} R_{3}$ mit $\measuredangle{R_3CA}=15°$ gibt.

Teilaufgabe f
Wenn es eine Pyramide mit $\measuredangle R_3CA=15°$ gäbe, dann würde gelten: $\cos\left(15°\right)=\dfrac{\overline {CH_3}}{13{,}65\;\text{cm}}$ und damit ist $\overline {CH_3}\ \approx13{,}18\;\text{cm}.$
$\overline {CH_3}$ wäre damit länger als $\overline {AC}$ . Dies kann aber nicht sein, da dann $H_3\notin\overline {AM}$ wäre.
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$\displaystyle \overline{BD}$	$=$	$\displaystyle \sqrt {\overline{AB}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\sphericalangle BAD}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{10^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos 100°}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100+64-160\cdot(-0{,}1736)}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt {164+27{,}78}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt {191{,}78}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 13{,}85\;\text{cm}$

$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DBA}{\overline{AD}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin 100°}{\overline{BD}}$
$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DBA}{8\;\text{cm}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin 100°}{13{,}85\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}9848\cdot 8\;\text{cm}}{13{,}85\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle 0{,}5688$
$\displaystyle \sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle 34{,}67°$

$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DCA}{{8\;\text{cm}}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (180°-100°)}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (80°)\cdot 8\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}9848\cdot 8\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle 0{,}7878$
$\displaystyle \sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle 51{,}98°$

$\displaystyle \text{A}_{ACD}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin48{,}02°\cdot 8\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sin48{,}02°\cdot40\;\text{cm} ^2$

$\displaystyle \text{A}_{ABC}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin\sphericalangle BAC\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin\ 51{,}98°\cdot 10\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sin\ 51{,}98°\cdot50\;\text{cm}^2$

Nachtermin Teil B

Lösung Teilaufgabe a

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Lösung Teilaufgabe b

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Lösung Teilaufgabe c

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Lösung Teilaufgabe d

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Lösung Teilaufgabe e

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Lösung Teilaufgabe f

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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$\displaystyle \overline {H_nR_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\overline {CR}^2-\overline {HC}}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(\overline {AC}-x\right)^2}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13-x\right)^2}\;\text{cm}$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13^2-26x+x^2\right)}\;\text{cm}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-13^2+26x-x^2}\;\text{cm}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{-x^2+26x+17{,}32}\;\text{cm}$