Nachtermin Teil B

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ mit den Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[BD]$ sowie das Maß des Winkels $DBA$.

$[$Ergebnis: $\overline{BD}=13{,}8\;5\text{cm};\measuredangle DBA=34{,}67°$$]$

Berechnen Sie das Maß des Winkels $DCA$ und begründen Sie, dass gilt:

$\measuredangle BAC=\measuredangle DCA= 51{,}98°$

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $ABCD$.

$[$Ergebnis: $A_{ABCD}=69{,}12 \;\textrm{cm}^2$$]$

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AB]$. Ein Kreis um $M$ berührt die Strecke $[BD]$ im Punkt $E$ und schneidet die Strecke $[AM]$ im Punkt $F$.

Ergänzen Sie die Zeichnung zur Teilaufgabe a) um die Strecke $[ME]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ mit dem Mittelpunkt $M$.

Die Strecken $[FB]$ und $[BE]$ sowie der Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ legen die Figur $FBE$ fest. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts $F_{FBE}$ der Figur $FBE$ am Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $ABCD$.

$[$Zwischenergebnis: $\overline {ME}= 2{,}84\;\textrm{cm}$$]$

Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks $ABCD$. Berechnen Sie das Maß des Winkels $CGD$. Begründen Sie sodann, dass gilt: $\overline{GD}>d(D;[AC])$.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=\frac{1}{2} ;\omega =45°$. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[CS]$ und das Maß des Winkels $SCA$. $[$Teilergebnis: $\overline{CS}=13{,}65\;\textrm{cm}$$]$

Punkte $H_n$ liegen auf der Strecke $[AM]$ mit $\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6{,}5)$. Sie sind Mittelpunkte von Strecken $[P_nQ_n]$ mit $P_n \in [AB], Q_n\in [AD]$ und $[P_nQ_n]\parallel[BD]$. Punkte $R_n$ sind Spitzen von Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ mit den Grundflächen $AP_nCQ_n$und den Höhen $[H_nR_n]$, wobei gilt: $\overline {CR_n}=\overline{CS}$.

Zeichnen Sie die Pyramide $AP_1CQ_1R_1$ und die zugehörige Höhe $[H_1R_1]$ für $\textrm{x}=3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V_1$ der Pyramide $AP_nCQ_nR_n$ gilt:

$V_1= 111{,}51\;\textrm{cm}^3$.

Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens $V_1$ am Volumen $V$der Pyramide $ABCDS$.

In der Pyramide $AP_2CQ_2R_2$ gilt: $\overline{H_2R_2}=6\;\textrm{cm}$.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$.

Zeigen Sie, dass für die Höhen $[H_nR_n]$ der Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ gilt: $\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17{,}32}\, \textrm{cm}$.

Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ keine Pyramide $AP_3CQ_3R_3$mit $\measuredangle{R_3CA}=15°$ gibt.