Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Nebenstehende Skizze zeigt das Viereck $ABCD$ , für das gilt: $\overline {AB}=\overline {AC}=10\ \textrm{cm};\overline {AD}=8\ \textrm{cm}; \measuredangle BAD=100°; [AB]||[CD]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ mit den Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[BD]$ sowie das Maß des Winkels $DBA$ .

$[$ Ergebnis: $\overline{BD}=13{,}8\;5\text{cm};\measuredangle DBA=34{,}67°$ $]$

Berechnen Sie das Maß des Winkels $DCA$ und begründen Sie, dass gilt:

$\measuredangle BAC=\measuredangle DCA= 51{,}98°$

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $ABCD$ .

$[$ Ergebnis: $A_{ABCD}=69{,}12 \;\textrm{cm}^2$ $]$

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AB]$ . Ein Kreis um $M$ berührt die Strecke $[BD]$ im Punkt $E$ und schneidet die Strecke $[AM]$ im Punkt $F$ .
Ergänzen Sie die Zeichnung zur Teilaufgabe a) um die Strecke $[ME]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ mit dem Mittelpunkt $M$ .

Lösung Teilaufgabe d
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Die Strecken $[FB]$ und $[BE]$ sowie der Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ legen die Figur $FBE$ fest. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts $F_{FBE}$ der Figur $FBE$ am Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $ABCD$ .

$[$ Zwischenergebnis: $\overline {ME}= 2{,}84\;\textrm{cm}$ $]$

Lösung Teilaufgabe e

Berechne den Flächeninhalt der $\text{Figur}_{FBE}$

Die $\text{Figur}_{FBE}$ setzt sich zusammen aus einem dem $\text{Dreieck}_\text{MBE}$ und dem $\text{Kreissektor}_\text{FME}$

Berechne die Fläche des $\text{Kreissektors}_{FME}$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ \dfrac{\sphericalangle FME}{360^\circ}\cdot\overline{ME}^2\cdot\pi\hspace{28mm}\overline{ME}\ =\ \overline{MB}\cdot\sin\sphericalangle ABD\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 5\;\text{cm}\cdot\sin 34{,}67^\circ\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 5\;\text{cm}\cdot 0{,}5688\\\hspace{66mm}\overline{ME}\ =\ 2{,}84\;\text{cm}$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ \dfrac{124{,}67^\circ}{360^\circ}\cdot{(2{,}84\;\text{cm})}^2\cdot\pi$

$\text{A}_\text{FME}\ =\ 8{,}77\;\text{cm}^2$

Berechne die Fläche des $\text{Dreiecks}_\text{MBE}$

$\displaystyle \text{A}_\text{MBE}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin\sphericalangle{EMB}\cdot\overline{ME}\cdot\overline{MB}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin{55{,}33°}\cdot{2{,}84\;\text{cm}}\cdot{5\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle \ 5{,}84\;\text{cm}^2$

Addiere die beiden Flächen

$\text{A}_\text{FBE}\ =\ \text{A}_\text{FME}\ +\ \text{A}_\text{MBE}$

$\text{A}_{\text{FBE}}\ =\ 8{,}77\;\text{cm}^2\ +\ 5{,}84\;\text{cm}^2$

$\text{A}_\text{FBE}\ =\ 14{,}61\;\text{cm}^2$

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts $\text{A}_{FBE}$ der Figur $FBE$ am Flächeninhalt $\text{A}_\text{ABCD}$ des Vierecks $ABCD.$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ \dfrac{\text{A}_\text{FBE}}{\text{A}_\text{ABCD}}\cdot100\%$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ \dfrac{14{,}61\;\text{cm}^2}{69{,}12\;\text{cm}^2}\cdot100\;\%$

$\text{Anteil}_{Prozent}\ =\ 21{,}14\;\%$

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Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks $ABCD$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $CGD$ . Begründen Sie sodann, dass gilt: $\overline{GD}>d(D;[AC])$ .

Lösung Teilaufgabe f
$\sphericalangle CGD \ =\ 180°-51{,}98°-34{,}67°\qquad\Rightarrow\qquad \sphericalangle CGD \ =\ \ 93{,}35°$
Wegen $\sphericalangle CGD \neq\ 90°$ gilt: $\ \ \overline{DG} > d(D;[AC])$ .
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$\displaystyle \overline{BD}$	$=$	$\displaystyle \sqrt {\overline{AB}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\sphericalangle BAD}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{10^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos 100°}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100+64-160\cdot(-0{,}1736)}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt {164+27{,}78}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt {191{,}78}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 13{,}85\;\text{cm}$

$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DBA}{\overline{AD}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin 100°}{\overline{BD}}$
$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DBA}{8\;\text{cm}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin 100°}{13{,}85\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}9848\cdot 8\;\text{cm}}{13{,}85\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle 0{,}5688$
$\displaystyle \sphericalangle DBA$	$=$	$\displaystyle 34{,}67°$

$\displaystyle \dfrac{\sin \sphericalangle DCA}{{8\;\text{cm}}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (180°-100°)}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (80°)\cdot 8\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}9848\cdot 8\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle 0{,}7878$
$\displaystyle \sphericalangle DCA$	$=$	$\displaystyle 51{,}98°$

$\displaystyle \text{A}_{ACD}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin48{,}02°\cdot 8\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sin48{,}02°\cdot40\;\text{cm} ^2$

$\displaystyle \text{A}_{ABC}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin\sphericalangle BAC\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \sin\ 51{,}98°\cdot 10\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sin\ 51{,}98°\cdot50\;\text{cm}^2$

Lösung Teilaufgabe a

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Lösung Teilaufgabe b

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Lösung Teilaufgabe c

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Lösung Teilaufgabe d

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Lösung Teilaufgabe e

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Lösung Teilaufgabe f

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