Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ , deren Grundfläche die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist.

Es gilt: $A C = 13 cm; B D = 12 cm; M S = 12 cm$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45 °$ . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[C S]$ und das Maß des Winkels $S C A$ . $[$ Teilergebnis: $C S = 13,65 cm$ $]$
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ :
$[A C] = 13 cm$
Gerade $g$ mit $∡ C M D = 45 °$
Da $q = \frac{1}{2}$ ist, ist die Strecke $[M D]$ = $[B M]$ auf der Zeichnung $3 cm$ lang (siehe nächste Abbildung rot)

Die Eckpunkte werden nun miteinander verbunden, so erhältst du die Grundfläche der Pyramide.
$∡ C M S = ∡ S M A = 90 °$
$[M S] = 12 cm$
Pyramidenspitze $S$ wird nun mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden.
Länge der Strecke $[C S]$ :
$C S = \sqrt{(0,5 \cdot 13)^{2} + 12^{2}} cm = 13,65 cm$
Maß des Winkels $S C A$ :
$\tan (∡ S C A) = \frac{12 cm}{6,5 cm}$ | $\cdot \tan^{- 1}$
$∡ S C A \approx 61,56 °$
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Punkte $H_{n}$ liegen auf der Strecke $[A M]$ mit $A H_{n} (x) = x cm (x \in ℝ; 0 < x < 6,5)$ . Sie sind Mittelpunkte von Strecken $[P_{n} Q_{n}]$ mit $P_{n} \in [A B], Q_{n} \in [A D]$ und $[P_{n} Q_{n}] ∥ [B D]$ . Punkte $R_{n}$ sind Spitzen von Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ mit den Grundflächen $A P_{n} C Q_{n}$ und den Höhen $[H_{n} R_{n}]$ , wobei gilt: $C R_{n} = C S$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1}$ und die zugehörige Höhe $[H_{1} R_{1}]$ für $x = 3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe b
Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1}$ :
$[A H_{n}] (x) = 3 cm$ und $H$ liegt auf der Strecke $[A C]$ .
Fälle anschließend das Lot an $H$ auf $[A C]$ (nächste Abbildung).
$k (C; [S C])$ : Kreis um Mittelpunkt $C$ mit Radius $[S C]$ .
Die Lotgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt $R$ .
Zeichne eine parallele Gerade zu $[B D]$ mit dem Abstand $[H M] = 3,5 cm$ .
$Q$ ist der Schnittpunkt auf $[A D]$ und $P$ der Schnittpunkt auf $[A B]$ .
Eckpunkte verbinden.
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V_{1}$ der Pyramide $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ gilt:
$V_{1} = 111,51 {cm}^{3}$ .
Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens $V_{1}$ am Volumen $V$ der Pyramide $A B C D S$ .
Teilaufgabe c
Volumen $V_{1}$ der Pyramide $A P_{1} C Q_{1} R_{1} :$ $V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:
$A_{A P Q}$ + $A_{P C Q}$ .
Dafür fehlt die Länge $P_{1} Q_{1}$ .
$P_{1} Q_{1}$ über den Strahlensatz: $\frac{B D}{P_{1} Q_{1}} = \frac{A M}{A H}$
$P_{1} Q_{1} = \frac{B D \cdot A H}{P_{1} Q_{1} A M} = \frac{12 cm \cdot 3 cm}{6,5 cm} \approx 5,54 cm$
Flächenberechnung der Dreiecke:
$A_{A P Q} = \frac{1}{2} \cdot P_{1} Q_{1} \cdot A H = \frac{1}{2} \cdot 5,54 \cdot 3 \approx 8,31 c m^{2}$
$A_{P C Q} = \frac{1}{2} \cdot P_{1} Q_{1} \cdot H C = \frac{1}{2} \cdot 5,54 \cdot 10 \approx 27,70 c m^{2}$
Grundfläche $G = A_{A P Q} + A_{P C Q} = 36,01 c m^{2}$
Höhe $[H_{1} R_{1}]$ im rechtwinkligen Dreieck $H C R$ mit dem Satz des Pythagoras:
$H_{1} R_{1} = \sqrt{{C R}^{2} - {H C}^{2}} = \sqrt{{(13,65)}^{2} - {(13 - 3)}^{2}} cm \approx 9,29 cm$
(Achtung: $C R = C S$ )
$V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36,01 {cm}^{2} \cdot 9,29 cm \approx 111,51 {cm}^{3}$
Volumen der Pyramide $A B C D S$ :
Man kann die Pyramide in zwei Pyramiden teilen, mit der dreieckigen Grundfläche ( $A_{B S D}$ ) und Höhe $h$ .
$A_{B S D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot M S$
$= \frac{1}{2} \cdot 12 cm \cdot 12 cm$
$= 72 {cm}^{2}$
$V_{B D S C} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72 {cm}^{2} \cdot 6,5 cm = 156 {cm}^{3}$
$V_{A B C D S} = 156 c m^{3} \cdot 2 = 312 c m^{3}$
Der prozentuale Anteil des Volumens $V_{1}$ am Volumen V:
$\frac{V_{1}}{V} \cdot 100 % = \frac{111,51 {cm}^{3}}{312 {cm}^{3}} \cdot 100 % \approx 35,74 %$
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In der Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ gilt: $H_{2} R_{2} = 6 cm$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .

Teilaufgabe d
Der Wert $x$ in der Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ mit $H_{2} R_{2} = 6 cm$ :
Im rechtwinkligen Dreieck $H C R$ kann man $C H_{2}$ über den Satz des Pythagoras ermitteln.
$C H_{2} = \sqrt{{A C}^{2} - {H_{2} R_{2}}^{2}} = \sqrt{{(13,65)}^{2} - 6^{2}} cm \approx 12,26 cm$
$x = A H_{2} = A C - C H_{2} = (13 - 12,26) cm$
Für die Pyramide $A P_{2} C Q_{2} R_{2}$ gilt folglich: $x = 0,74$ .
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Zeigen Sie, dass für die Höhen $[H_{n} R_{n}]$ der Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $H_{n} R_{n} (x) = \sqrt{{-x}^{2} + 26 x + 17,32} cm$ .

Teilaufgabe e
$H_{n} R_{n} (x) = \sqrt{- x^{2} + 26 x + 17,32} cm$
Im Dreieck $H C R$ mit dem Satz des Pythagoras:
$H_{n} R_{n} (x)$ $=$ $\sqrt{{C R}^{2} - H C} cm$
$=$ $\sqrt{{(13,65)}^{2} - {(A C - x)}^{2}} cm$
$=$ $\sqrt{{(13,65)}^{2} - {(13 - x)}^{2}} cm$
↓
Binomische Formel.
$=$ $\sqrt{{(13,65)}^{2} - (13^{2} - 26 x + x^{2})} cm$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $\sqrt{{(13,65)}^{2} - 13^{2} + 26 x - x^{2}} cm$
↓
Zusammenfassen.
$=$ $\sqrt{- x^{2} + 26 x + 17,32} cm$
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Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden $A P_{n} C Q_{n} R_{n}$ keine Pyramide $A P_{3} C Q_{3} R_{3}$ mit $∡ R_{3} C A = 15 °$ gibt.

Teilaufgabe f
Wenn es eine Pyramide mit $∡ R_{3} C A = 15 °$ gäbe, dann würde gelten: $\cos (15 °) = \frac{C H_{3}}{13,65 cm}$ und damit ist $C H_{3} \approx 13,18 cm .$
$C H_{3}$ wäre damit länger als $A C$ . Dies kann aber nicht sein, da dann $H_{3} \notin A M$ wäre.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$H_{n} R_{n} (x)$	$=$	$\sqrt{{C R}^{2} - H C} cm$
	$=$	$\sqrt{{(13,65)}^{2} - {(A C - x)}^{2}} cm$
	$=$	$\sqrt{{(13,65)}^{2} - {(13 - x)}^{2}} cm$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\sqrt{{(13,65)}^{2} - (13^{2} - 26 x + x^{2})} cm$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\sqrt{{(13,65)}^{2} - 13^{2} + 26 x - x^{2}} cm$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt{- x^{2} + 26 x + 17,32} cm$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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