Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit der Höhe $[MS]$ , deren Grundfläche die Raute $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist.

Es gilt: $\overline {AC}= 13\; \textrm{cm};\overline{ BD}= 12\;\textrm{cm} ;\overline {MS}= 12 \;\textrm{cm}$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=\frac{1}{2} ;\omega =45°$ . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[CS]$ und das Maß des Winkels $SCA$ . $[$ Teilergebnis: $\overline{CS}=13{,}65\;\textrm{cm}$ $]$
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ :
$[AC]=13\;\text{cm}$
Gerade $g$ mit $\measuredangle CMD=45°$
Da $q=\frac{1}{2}$ ist, ist die Strecke $[MD]$ = $[BM]$ auf der Zeichnung $3\;\text{cm}$ lang (siehe nächste Abbildung rot)

Die Eckpunkte werden nun miteinander verbunden, so erhältst du die Grundfläche der Pyramide.
$\measuredangle CMS=\measuredangle SMA=90°$
$[MS]=12\;\text{cm}$
Pyramidenspitze $S$ wird nun mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden.
Länge der Strecke $[CS]$ :
$\overline {CS}=\sqrt{(0{,}5\cdot 13)^2+12^2}\;\text{cm}=13{,}65\;\text{cm}$
Maß des Winkels $SCA$ :
$\tan\left(\measuredangle SCA\right)=\dfrac{12\;\text{cm}}{6{,}5\;\text{cm}}$ | $\cdot\tan^{-1}$
$\measuredangle SCA\ \approx61{,}56°$
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Punkte $H_n$ liegen auf der Strecke $[AM]$ mit $\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6{,}5)$ . Sie sind Mittelpunkte von Strecken $[P_nQ_n]$ mit $P_n \in [AB], Q_n\in [AD]$ und $[P_nQ_n]\parallel[BD]$ . Punkte $R_n$ sind Spitzen von Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ mit den Grundflächen $AP_nCQ_n$ und den Höhen $[H_nR_n]$ , wobei gilt: $\overline {CR_n}=\overline{CS}$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $AP_1CQ_1R_1$ und die zugehörige Höhe $[H_1R_1]$ für $\textrm{x}=3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe b
Pyramide $AP_1CQ_1R_1$ :
$\left[AH_n\right]\left(x\right)=3\;\text{cm}$ und $H$ liegt auf der Strecke $[AC]$ .
Fälle anschließend das Lot an $H$ auf $[AC]$ (nächste Abbildung).
$k(C; [SC])$ : Kreis um Mittelpunkt $C$ mit Radius $[SC]$ .
Die Lotgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt $R$ .
Zeichne eine parallele Gerade zu $[BD]$ mit dem Abstand $[HM] = 3{,}5 \;\text{cm}$ .
$Q$ ist der Schnittpunkt auf $[AD]$ und $P$ der Schnittpunkt auf $[AB]$ .
Eckpunkte verbinden.
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V_1$ der Pyramide $AP_nCQ_nR_n$ gilt:
$V_1= 111{,}51\;\textrm{cm}^3$ .
Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens $V_1$ am Volumen $V$ der Pyramide $ABCDS$ .
Teilaufgabe c
Volumen $V_1$ der Pyramide $AP_1CQ_1R_1:$ $V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:
$A_{APQ}$ + $A_{PCQ}$ .
Dafür fehlt die Länge $\overline {P_1Q_1}$ .
$\overline {P_1Q_1}$ über den Strahlensatz: $\frac{\overline {BD}}{\overline {P_1Q_1}}=\frac{\overline {AM}}{\overline {AH}}$
$\overline {P_1Q_1}=\dfrac{\overline {BD}\cdot\overline {AH}}{\overline {P_1Q_1}AM}=\dfrac{12\;\text{cm}\cdot3\;\text{cm}}{6{,}5\;\text{cm}}\approx5{,}54\;\text{cm}$
Flächenberechnung der Dreiecke:
$A_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot\overline {P_1Q_1}\cdot\overline {AH}=\frac{1}{2}\cdot5{,}54\cdot3\ \approx8{,}31\ cm^2$
$A_{PCQ}=\frac{1}{2}\cdot\overline {P_1Q_1}\cdot\overline {HC}=\frac{1}{2}\cdot5{,}54\cdot10\ \approx27{,}70\ cm^2$
Grundfläche $G=A_{APQ}+A_{PCQ}=36{,}01\ cm^2$
Höhe $[H_1R_1]$ im rechtwinkligen Dreieck $HCR$ mit dem Satz des Pythagoras:
$\overline {H_1R_1}=\sqrt{\overline {CR}^2-\overline {HC}^2}=\sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13-3\right)^2}\;\text{cm}\approx9{,}29\;\text{cm}$
(Achtung: $\overline {CR}=\overline {CS}$ )
$V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot36{,}01\;\text{cm}^2\cdot9{,}29\;\text{cm}\ \approx111{,}51\;\text{cm}^3$
Volumen der Pyramide $ABCDS$ :
Man kann die Pyramide in zwei Pyramiden teilen, mit der dreieckigen Grundfläche ( $A_{BSD}$ ) und Höhe $h$ .
$A_{BSD}=\frac{1}{2}\cdot\overline {BD}\cdot\overline {MS}$
$\phantom{A_{BSD}}=\frac{1}{2}\cdot12\;\text{cm}\cdot12\;\text{cm}$
$\phantom{A_{BSD}}=72\;\text{cm}^2$
$V_{BDSC}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 72\;\text{cm}^2\cdot 6{,}5\;\text{cm}= 156\;\text{cm}^3$
$V_{ABCDS}=156\ cm^3\cdot 2=312\ cm^3$
Der prozentuale Anteil des Volumens $V_1$ am Volumen V:
$\dfrac{V_1}{V}\cdot100\ \%=\dfrac{111{,}51\;\text{cm}^3}{312\;\text{cm}^3}\cdot100\ \%\ \approx35{,}74\ \%$
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In der Pyramide $AP_2CQ_2R_2$ gilt: $\overline{H_2R_2}=6\;\textrm{cm}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$ .

Teilaufgabe d
Der Wert $x$ in der Pyramide $AP_2CQ_2R_2$ mit $\overline {H_2R_2}= 6\;\text{cm}$ :
Im rechtwinkligen Dreieck $HCR$ kann man $\overline {CH_2}$ über den Satz des Pythagoras ermitteln.
$\overline {CH_2}=\sqrt{\overline {AC}^2-\overline {H_2R_2}^2}=\sqrt{\left(13{,}65\right)^2-6^2}\;\text{cm}\approx12{,}26\;\text{cm}$
$x=\overline {AH_2}=\overline {AC}-\overline {CH_2}=(13 -12{,}26)\;\text{cm}$
Für die Pyramide $AP_2CQ_2R_2$ gilt folglich: $x=0{,}74$ .
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Zeigen Sie, dass für die Höhen $[H_nR_n]$ der Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ gilt: $\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17{,}32}\, \textrm{cm}$ .

Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden $AP_nCQ_nR_n$ keine Pyramide $AP_3CQ_3R_3$ mit $\measuredangle{R_3CA}=15°$ gibt.

Teilaufgabe f
Wenn es eine Pyramide mit $\measuredangle R_3CA=15°$ gäbe, dann würde gelten: $\cos\left(15°\right)=\dfrac{\overline {CH_3}}{13{,}65\;\text{cm}}$ und damit ist $\overline {CH_3}\ \approx13{,}18\;\text{cm}.$
$\overline {CH_3}$ wäre damit länger als $\overline {AC}$ . Dies kann aber nicht sein, da dann $H_3\notin\overline {AM}$ wäre.
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$\displaystyle \overline {H_nR_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\overline {CR}^2-\overline {HC}}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(\overline {AC}-x\right)^2}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13-x\right)^2}\;\text{cm}$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-\left(13^2-26x+x^2\right)}\;\text{cm}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(13{,}65\right)^2-13^2+26x-x^2}\;\text{cm}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{-x^2+26x+17{,}32}\;\text{cm}$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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