Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Ketten

Aufgabenteil a)

Joe trifft bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit $p_{\left\{Joe\right\}}=0{,}2$.

Hans trifft bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit $p_{\left\{Hans\right\}}=0{,}3$.

Da Hans genau zwei Treffer erzielt hat, gewinnt Joe, wenn er drei oder mehr Treffer erzielt hat.

Sei $A:$ Joe erzielt mehr als zwei Treffer.

$P(A)=\sum_{k=3}^6B(6,p_{Joe},k)=1-\sum_{k=0}^2B(6;0{,}2;k)$

$P(A)=1-\left(\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot 0{,}8^6+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^5+\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot 0{,}2^2 \cdot0{,}8^4\right)$

$P(A)=1-(0{,}8^6+6\cdot 0{,}2 \cdot0{,}8^5+15\cdot 0{,}2^2\cdot 0{,}8^4)$

$P(A)=1-(0{,}262144+0{,}393216+0{,}24576)=1-0{,}90112=0{,}09888$

Hans trifft etwa mit jedem dritten Schuss. Also ist es durchaus möglich, dass er zweimal bei sechs Schüssen trifft.

Joe trifft etwa nur bei jedem fünften Schuss.

Aufgabenteil b)

Joe und Hans schießen unabhängig voneinander auf die Torwand.

$B\left(6;0{,}2;k\right)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Joe bei 6 Schüssen auf die Torwand genau $k$ Treffer hat.

Analog gilt: $B\left(6;0{,}3;k\right)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans bei 6 Schüssen auf die Torwand genau $k$ Treffer hat.

Somit ist $\sum_{k=0}^6B(6;0{,}2;k)\cdot B(6;0{,}3;k)$ die Wahrscheinlichkeit, dass Joe und Hans beim Schießen auf die Torwand jeweils gleichviele Treffer haben.

Aufgabenteil c)

Lisa erreicht in 90% aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer.

Dann beschreibt $A$ die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer. d.h.

$A$: nicht (kein Treffer) d.h. $A$: nicht (nur Nieten).

Die Schüsse sind unabhängig. Somit betrachtet man eine Bernoullikette der Länge $n=6$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

Somit ist $P(A)=1-q^6=0{,}9\iff1-0{,}9=q^6\iff 0{,}1=q^6$

Also: $q=(0{,}1)^{1/6}=0{,}6812$.

Wegen $p=1-q$ ist $p=0{,}318$.

Lisa trifft mit der Wahrscheinlichkeit $p=0{,}318$ bei jedem und somit auch beim 1. Schuss.