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18Bruchterme kürzen

Es ist viel Handwerkszeug, aber jetzt hast du es geschafft!

Du kannst prinzipiell jeden Bruchterm, den dir die Welt entgegenwirft, durch gute Vorarbeit so weit wie möglich kürzen. Es bedarf nur einiger Übung und guter Konzentration.

Lies dir deshalb vor dem Üben nochmal dieses Beispiel durch und versuche nachzuvollziehen, was als nächstes passiert:

T(x)\displaystyle T\left(x\right)==8x 2x(208x)x24x+4\displaystyle \frac{8x\ -2x\left(20-8x\right)}{x^2-4x+4}

Zunächst vereinfachst du den Term im Zähler, indem du die Klammer ausmultiplizierst (da außerhalb noch eine Differenz ist, ist dies sinnvoll).

==8x 40x+16x2x24x+4\displaystyle \frac{8x\ -40x+16x^2}{x^2-4x+4}

Verrechne im Zähler. Ordne nach absteigender Potenz von x (bringt besseren Überblick).

==16x232xx24x+4\displaystyle \frac{16x^2-32x}{x^2-4x+4}

Zerlege die Bestandteile der Summenterme von Zähler und Nenner in möglichst kleine Faktoren.

==2222xx22222xxx22x+22\displaystyle \frac{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot x\cdot x-2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot x}{x\cdot x-2\cdot2\cdot x+2\cdot2}

Zähler: Finde den größtmöglichen Faktor zum Ausklammern.

==2222xx22222xxx22x+22\displaystyle \frac{\color{red}2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot x\color{black}\cdot x-\color{red}2\cdot2\cdot2\cdot2\color{black}\cdot2\cdot\color{red} x}{x\cdot x-2\cdot2\cdot x+2\cdot2}

Du kannst alles Rote ausklammern, da es in beiden Faktoren vorkommt. Insgesamt also 16x16x.

==16x(x2)xx22x+22\displaystyle \frac{16x\left(x-2\right)}{x\cdot x-2\cdot2\cdot x+2\cdot2}

Im Nenner entdeckst du zwei Quadrate, einmal von xx und einmal von der 22. In der Mitte ist das Doppelte von 2x2x.

Es handelt sich also um eine binomische Formel.

Aufgrund des Minus-Zeichens handelt es sich um die 22. binomische Formel.

==16x(x2)(x2)2\displaystyle \frac{16x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}

Der Faktor (x2)(x-2) kommt sowohl im Zähler als auch im Nenner vor.

==16x(x2)(x2)(x2)\displaystyle \frac{16x\color{red}\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\color{red}\left(x-2\right)}

Kürze den Faktor (x2)(x-2).

==16xx2\displaystyle \frac{16x}{x-2}

(Die Klammern im Nenner sind optional)


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