Aufgaben zur Volumenberechung bei zusammengesetzten Körpern und Sachaufgaben

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

Hinweis: Rechne immer mit $\pi=3{,}14.$ Runde auf zwei Kommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Teillösung 1: Volumen

Maße großer Zylinder: $d_1=6\;\text{cm}$ ; $h_1=3{,}5\;\text{cm}$

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser $\Rightarrow r_1=\dfrac{d_1}{2}=3\;\text{cm}$ .

Maße kleiner Zylinder: $d_2=2\;\text{cm}$ ; $h_2=4\;\text{cm}$

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser $\Rightarrow r_2=\dfrac{d_2}{2}=1\;\text{cm}$ .

Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit der Formel:

$V_{Zylinder} = r^2\cdot\pi\cdot h_k$

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle V_{großerZylinder}+V_{kleinerZylinder}$
	$=$	$\displaystyle r_1^2\cdot\pi\cdot h_1+ r_2^2\cdot \pi\cdot h_2$
	$=$	$\displaystyle \mathrm{(3\;cm)}^2\cdot\pi\cdot \mathrm{3{,}5\;cm}+ \mathrm{(1\;cm)}^2\cdot \pi\cdot \mathrm{4\;cm}$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \mathrm{(3\;cm)}^2\cdot3{,}14\cdot \mathrm{3{,}5\;cm}+ \mathrm{(1\;cm)}^2\cdot 3{,}14\cdot \mathrm{4\;cm}$
	$=$	$\displaystyle 98{,}91\mathrm{\;cm}^3+12{,}56 \mathrm{\;cm}^3$
	$=$	$\displaystyle 111{,}47\mathrm{\;cm}^3$

Antwort: Das Werkstück hat ein Volumen von etwa $111{,}47\mathrm{\;cm}^3$ .

Teillösung 2: Oberflächeninhalt

Die Oberfläche dieses Werkstücks besteht aus mehreren Teilflächen:

Kreis, Mantelfläche, Kreisring

Berechne den (sichtbaren) Oberflächeninhalt des großen Zylinders (gr Z) und dann den (sichtbaren) Oberflächeninhalt des kleinen Zylinders (kl Z).

$\displaystyle O_{gr\; Z}$	$=$	$\displaystyle \text{Grundfläche Kreis + Mantel + Kreisring}$
	$=$	$\displaystyle r_1^2\cdot\pi+2\cdot r_1\cdot\pi\cdot h_1+\pi\cdot(r_1^2-r_2^2)$
	$=$	$\displaystyle (3\;\text{cm})^2\cdot\pi+2\cdot 3\;\text{cm}\cdot\pi\cdot 3{,}5\;\text{cm}+\pi\cdot(( 3\;\text{cm})^2-(1\;\text{cm})^2)$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$\approx ≈$	$\displaystyle (3\;\text{cm})^2\cdot3{,}14+2\cdot 3\;\text{cm}\cdot3{,}14\cdot 3{,}5\;\text{cm}+3{,}14\cdot((3\;\text{cm})^2-(1\;\text{cm})^2)$
	$=$	$\displaystyle 28{,}26\;\mathrm{cm^2}+65{,}94\;\mathrm{cm^2}+25{,}12\;\mathrm{cm^2}$
	$=$	$\displaystyle 119{,}32\;\mathrm{cm^2}$

$\displaystyle O_{kl\; Z}$	$=$	$\displaystyle \text{ Mantel + Deckfläche Kreis}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot r_2\cdot\pi\cdot h_k+ r_2^2\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 1\;\text{cm}\cdot\pi\cdot 4\;\text{cm}+(1\;\text{cm})^2\cdot\pi$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2\cdot 1\;\text{cm}\cdot3{,}14\cdot 4\;\text{cm}+(1\;\text{cm})^2\cdot3{,}14$
	$=$	$\displaystyle 25{,}12\;\mathrm{cm^2}+3{,}14\;\mathrm{cm^2}$
	$=$	$\displaystyle 28{,}26\;\mathrm{cm^2}$

$\displaystyle O_{gesamt}$	$=$	$\displaystyle O_{gr\;Z}+O_{kl\;Z}$
	$=$	$\displaystyle 119{,}32\;\mathrm{cm^2}+28{,}26\;\mathrm{cm^2}$
	$=$	$\displaystyle 147{,}58\;\mathrm{cm^2}$

Antwort: Das Werkstück hat einen Oberflächeninhalt von etwa $147{,}58 \;\mathrm{cm^2}$ .

Alternative Berechnung der Oberfläche

Die Oberfläche eines Zylinders berechnest du mit der Formel: $O_{Zylinder} = 2\cdot r^2\cdot\pi+2\cdot r\cdot\pi\cdot h_k$

Beachte: Die Fläche des $\textcolor{006400}{grünen}$ Kreises muss vom gesamten Oberflächeninhalt der beiden Zylinder zwei mal abgezogen werden, da diese Fläche sowohl beim großen als auch beim kleinen Zylinder nicht sichtbar ist.

$\displaystyle O_{Z\;gesamt}$	$=$	$\displaystyle O_{gr\; Z}+O_{kl\;Z}-\textcolor{006400}{2 \cdot r_2^2\cdot \pi}$
	$=$	$\displaystyle (2\cdot r_1^2\cdot\pi+2\cdot r_1\cdot\pi\cdot h_1)+(2\cdot r_2^2\cdot\pi+2\cdot r_2\cdot\pi\cdot h_2)-\textcolor{006400}{2\cdot r_2^2\cdot\pi}$
	↓	Die Fläche des kleinen (grünen) Kreises wurde zwei mal abgezogen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot r_1^2\cdot\pi+2\cdot r_1\cdot\pi\cdot h_1+2\cdot r_2\cdot\pi\cdot h_2$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot (3\;\text{cm})^2\cdot\pi+2\cdot 3\;\text{cm}\cdot\pi\cdot 3{,}5\;\text{cm}+2\cdot 1\;\text{cm}\cdot\pi\cdot 4\;\text{cm}$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2\cdot (3\;\text{cm})^2\cdot3{,}14+2\cdot 3\;\text{cm}\cdot3{,}14\cdot 3{,}5\;\text{cm}+2\cdot 1\;\text{cm}\cdot3{,}14\cdot 4\;\text{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 56{,}52\;\mathrm{cm^2}+65{,}94\;\mathrm{cm^2}+25{,}12\;\mathrm{cm^2}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 147{,}58 \;\mathrm{cm^2}$

Antwort: Das Werkstück hat einen Oberflächeninhalt von etwa $147{,}58 \;\mathrm{cm^2}$ .

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