Aufgaben zum Zylinder - lernen mit Serlo!

Berechne jeweils die gesuchten Größen für einen geraden Zylinder.

Berechne außerdem jeweils das Volumen des Zylinders.

Rechne immer mit $π \approx 3,14$ .

Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und die Mantelfläche $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ .
Berechne die Fläche des Grundkreises $A_{K}$ , den Radius $r$ des Grundkreises und die Höhe $h$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und Mantelfläche $A_{M}$
Gesucht: Fläche des Grundkreises $A_{K}$ , Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Berechnung der Grundkreisfläche
Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Z y l}$ und den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Somit kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt (Nr. 1) nach $A_{K}$ auflösen.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$ $- A_{M}$
↓
Löse nach $A_{K}$ auf.
$O_{Z y l} - A_{M}$ $=$ $2 \cdot A_{K}$ $: 2$
$\frac{O_{Z y l} - A_{M}}{2}$ $=$ $A_{K}$
↓
Setze $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ ein.
$A_{K}$ $=$ $\frac{351,68 {cm}^{2} - 251,2 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$ $=$ $\frac{100,48 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$ $=$ $50,24 {cm}^{2}$
Antwort: Der Grundkreis des Zylinders hat eine Fläche von etwa $50,24 {cm}^{2}$ .
Berechnung des Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3).
Benutze den gerade berechneten Wert der Grundkreisfläche um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 50,24 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{16 {cm}^{2}}$
$=$ $4 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 4 cm$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und du kennst die Formel für die Berechnung der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders (Nr. 2). Sie enthält die gesuchte Höhe $h$ und den gerade berechneten Grundkreisradius $r$ .
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ und $r = 4 cm$ ein.
$h$ $=$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{25,12 cm}$
$=$ $10 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 10 cm$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den berechneten Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 50,24 m^{2}$ und $h = 10 cm$ ein.
$=$ $50,24 {cm}^{2} \cdot 10 cm$
$=$ $502,4 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $502,4 {cm}^{3}$ .
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Notiere dir, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind, was gesucht ist und welche Formeln du für die Lösung der Aufgabe kennst.
Gegeben sind die Mantelfläche $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ und die Fläche des Grundkreises $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ .
Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Höhe $h$ und den Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Mantelfläche $A_{M}$ und Fläche des Grundkreises $A_{K}$
Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders, Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{153,86 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{153,86 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{49 {cm}^{2}}$
$=$ $7 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 7 cm$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und du kennst die Formel für die Berechnung der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders (Nr. 2). Sie enthält die gesuchte Höhe $h$ und den gerade berechneten Grundkreisradius $r$ .
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ und $r = 7 cm$ ein
$h$ $=$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{2 \cdot 7 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{2 \cdot 7 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{43,96 cm}$
$=$ $13 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 13 cm$ .
Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders
Du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ und du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 den Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ des Zylinders.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $2 \cdot 153,86 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
$=$ $307,72 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
$=$ $879,2 {cm}^{2}$
Antwort: Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von etwa $879,2 {cm}^{2}$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $h = 13 cm$ ein.
$=$ $153,86 {cm}^{2} \cdot 13 cm$
$=$ $2000,18 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $2000,18 {cm}^{3}$ .
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Notiere dir, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind, was gesucht ist und welche Formeln du für die Lösung der Aufgabe kennst.
Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und die Fläche des Grundkreises $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ . Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_{M}$ und die Höhe $h$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und Fläche des Grundkreises $A_{K}$
Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_{M}$ , die Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{452,16 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{452,16 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{144 {cm}^{2}}$
$=$ $12 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 12 cm$ .
Berechnung der Mantelfläche des Zylinders
Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Z y l}$ und du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 die Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$ $- 2 \cdot A_{K}$
↓
Löse nach $A_{M}$ auf.
$O_{Z y l} - 2 \cdot A_{K}$ $=$ $A_{M}$
↓
Setze $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$A_{M}$ $=$ $2788,32 {cm}^{2} - 2 \cdot 452,16 {cm}^{2}$
$=$ $2788,32 {cm}^{2} - 904,32 {cm}^{2}$
$=$ $1884 {cm}^{2}$
Antwort: Der Zylinder hat eine Mantelfläche von etwa $1884 {cm}^{2}$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du hast den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und den Grundkreisradius $r$ berechnet. Mit Formel Nr. 2 kannst du die gesuchte Höhe $h$ berechnen.
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 1884 {cm}^{2}$ und $r = 12 cm$ ein.
$h$ $=$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{2 \cdot 12 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{2 \cdot 12 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{75,36 cm}$
$=$ $25 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 25 cm$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ und $h = 25 cm$ ein.
$=$ $452,16 {cm}^{2} \cdot 25 cm$
$=$ $11304 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $11304 {cm}^{3}$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$	$- A_{M}$
	↓	Löse nach $A_{K}$ auf.
$O_{Z y l} - A_{M}$	$=$	$2 \cdot A_{K}$	$: 2$
$\frac{O_{Z y l} - A_{M}}{2}$	$=$	$A_{K}$
	↓	Setze $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ ein.
$A_{K}$	$=$	$\frac{351,68 {cm}^{2} - 251,2 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$	$=$	$\frac{100,48 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$	$=$	$50,24 {cm}^{2}$

$A_{K}$	$=$	$r^{2} \cdot π$	$: π$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
	↓	Setze $A_{K} = 50,24 {cm}^{2}$ ein.
	$=$	$\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{π}}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{3,14}}$
	$=$	$\sqrt{16 {cm}^{2}}$
	$=$	$4 cm$

$A_{M}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π \cdot h$	$: (2 \cdot r \cdot π)$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$	$=$	$h$
	↓	Setze $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ und $r = 4 cm$ ein.
$h$	$=$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot π}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot 3,14}$
	$=$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{25,12 cm}$
	$=$	$10 cm$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 50,24 m^{2}$ und $h = 10 cm$ ein.
	$=$	$50,24 {cm}^{2} \cdot 10 cm$
	$=$	$502,4 {cm}^{3}$

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$
	↓	Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ ein.
	$=$	$2 \cdot 153,86 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
	$=$	$307,72 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
	$=$	$879,2 {cm}^{2}$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $h = 13 cm$ ein.
	$=$	$153,86 {cm}^{2} \cdot 13 cm$
	$=$	$2000,18 {cm}^{3}$

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$	$- 2 \cdot A_{K}$
	↓	Löse nach $A_{M}$ auf.
$O_{Z y l} - 2 \cdot A_{K}$	$=$	$A_{M}$
	↓	Setze $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$A_{M}$	$=$	$2788,32 {cm}^{2} - 2 \cdot 452,16 {cm}^{2}$
	$=$	$2788,32 {cm}^{2} - 904,32 {cm}^{2}$
	$=$	$1884 {cm}^{2}$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ und $h = 25 cm$ ein.
	$=$	$452,16 {cm}^{2} \cdot 25 cm$
	$=$	$11304 {cm}^{3}$

Berechnung der Grundkreisfläche

Berechnung des Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Höhe des Zylinders

Berechnung des Zylindervolumens

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Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Höhe des Zylinders

Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders

Berechnung des Zylindervolumens

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Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Mantelfläche des Zylinders

Berechnung der Höhe des Zylinders

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