Aufgaben zum Zylinder - lernen mit Serlo!

Berechne jeweils die gesuchten Größen für einen geraden Zylinder.

Berechne außerdem jeweils das Volumen des Zylinders.

Rechne immer mit $\pi\approx 3{,}14$ .

Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Zyl} = 351{,}68\;\text{cm}^2$ und die Mantelfläche $A_M = 251{,}2 \;\text{cm}^2$ .

Berechne die Fläche des Grundkreises $A_K$ , den Radius $r$ des Grundkreises und die Höhe $h$ des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Zyl}$ und Mantelfläche $A_M$

Gesucht: Fläche des Grundkreises $A_K$ , Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Zyl}$

Benötigte Formeln:

Oberfläche des Zylinders : $O_{Zyl}=2\cdot A_K+A_M$
Mantelfläche des Zylinders: $A_M=2\cdot r \cdot \pi \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_K=r^2\cdot\pi$
Volumen des Zylinders: $V_{Zyl}=A_K \cdot h$ oder $V_{Zyl}=r^2 \cdot \pi \cdot h$

Berechnung der Grundkreisfläche

Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Zyl}$ und den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Somit kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt (Nr. 1) nach $A_K$ auflösen.

$\displaystyle O_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_K+A_M$	$\displaystyle -A_M$
	↓	Löse nach $A_K$ auf.
$\displaystyle O_{Zyl}-A_M$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_K$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{O_{Zyl}-A_M}{2}$	$=$	$\displaystyle A_K$
	↓	Setze $O_{Zyl}=351{,}68\text{cm}^2$ und $A_M=251{,}2\text{cm}^2$ ein.
$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle \frac{351{,}68\text{cm}^2-251{,}2\text{cm}^2}{2}$
$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle \frac{100{,}48\ \text{cm}^2}{2}$
$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle 50{,}24\ \text{cm}^2$

Antwort: Der Grundkreis des Zylinders hat eine Fläche von etwa $50{,}24\;\text{cm}^2$ .

Berechnung des Radius der Grundkreisfläche

Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3).

Benutze den gerade berechneten Wert der Grundkreisfläche um den Radius $r$ zu berechnen.

$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \pi$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_K}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{A_K}{\pi}}$
	↓	Setze $A_K=50{,}24\text{cm}^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{50{,}24\;\text{cm}^2}{\pi}}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{50{,}24\;\text{cm}^2}{3{,}14}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{16\;\text{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle 4\;\text{cm}$

Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r=4\;\text{cm}$ .

Berechnung der Höhe des Zylinders

Du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und du kennst die Formel für die Berechnung der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders (Nr. 2). Sie enthält die gesuchte Höhe $h$ und den gerade berechneten Grundkreisradius $r$ .

$\displaystyle A_M$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r \cdot \pi \cdot h$	$\displaystyle :(2\cdot r\cdot\pi)$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_M}{2\cdot r\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Setze $A_M=251{,}2\text{cm}^2$ und $r=4\text{cm}$ ein.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{251{,}2 \;\text{cm}^2}{2\cdot 4\;\text{cm}\cdot\pi}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \dfrac{251{,}2 \;\text{cm}^2}{2\cdot 4\;\text{cm}\cdot3{,}14}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{251{,}2 \;\text{cm}^2}{25{,}12\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle 10\;\text{cm}$

Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h=10\;\text{cm}$ .

Berechnung des Zylindervolumens

Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Zyl}$ (Nr. 4). Sie enthält den berechneten Grundkreisflächeninhalt $A_K$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .

$\displaystyle V_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle A_K\cdot h$
	↓	Setze $A_K=50{,}24\text{m}^2$ und $h=10\text{cm}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 50{,}24\;\text{cm}^2\cdot 10 \;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 502{,}4\;\text{cm}^3$

Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $502{,}4\; \text{cm}^3$ .

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Gegeben sind die Mantelfläche $A_M = 571{,}48 \;\text{cm}^2$ und die Fläche des Grundkreises $A_K= 153{,}86\;\text{cm}^2$ .

Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Höhe $h$ und den Oberflächeninhalt $O_{Zyl}$ des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Gegeben: Mantelfläche $A_M$ und Fläche des Grundkreises $A_K$

Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders, Oberflächeninhalt $O_{Zyl}$ und das Volumen $V_{Zyl}$

Benötigte Formeln:

Oberfläche des Zylinders : $O_{Zyl}=2\cdot A_K+A_M$
Mantelfläche des Zylinders: $A_M=2\cdot r \cdot \pi \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_K=r^2\cdot\pi$
Volumen des Zylinders: $V_{Zyl}=A_K \cdot h$ oder $V_{Zyl}=r^2 \cdot \pi \cdot h$

Radius der Grundkreisfläche

Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.

$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \pi$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_K}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{A_K}{\pi}}$
	↓	Setze $A_K=153{,}86\text{cm}^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{153{,}86\;\text{cm}^2}{\pi}}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{153{,}86\;\text{cm}^2}{3{,}14}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{49\;\text{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle 7\;\text{cm}$

Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r=7\;\text{cm}$ .

Berechnung der Höhe des Zylinders

$\displaystyle A_M$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r \cdot \pi \cdot h$	$\displaystyle :(2\cdot r\cdot\pi)$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_M}{2\cdot r\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Setze $A_M=571{,}48\text{cm}^2$ und $r=7\text{cm}$ ein
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{571{,}48 \;\text{cm}^2}{2\cdot 7\;\text{cm}\cdot\pi}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \dfrac{571{,}48 \;\text{cm}^2}{2\cdot 7\;\text{cm}\cdot3{,}14}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{571{,}48 \;\text{cm}^2}{43{,}96\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle 13\;\text{cm}$

Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h=13\;\text{cm}$ .

Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders

Du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ und du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 den Oberflächeninhalt $O_{Zyl}$ des Zylinders.

$\displaystyle O_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_K+A_M$
	↓	Setze $A_K=153{,}86\text{cm}^2$ und $A_M=571{,}48\text{cm}^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 153{,}86 \;\text{cm}^2+571{,}48\;\text{cm}^2$
	$=$	$\displaystyle 307{,}72\;\text{cm}^2+571{,}48\;\text{cm}^2$
	$=$	$\displaystyle 879{,}2\;\text{cm}^2$

Antwort: Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von etwa $879{,}2\;\text{cm}^2$ .

Berechnung des Zylindervolumens

Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Zyl}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_K$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .

$\displaystyle V_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle A_K\cdot h$
	↓	Setze $A_K=153{,}86\text{cm}^2$ und $h=13\text{cm}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 153{,}86\;\text{cm}^2\cdot 13 \;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 2000{,}18\;\text{cm}^3$

Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $2000{,}18\; \text{cm}^3$ .

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Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Zyl} = 2788{,}32\;\text{cm}^2$ und die Fläche des Grundkreises $A_K= 452{,}16\;\text{cm}^2$ . Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_M$ und die Höhe $h$ des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Zyl}$ und Fläche des Grundkreises $A_K$

Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_M$ , die Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Zyl}$

Benötigte Formeln:

Oberfläche des Zylinders : $O_{Zyl}=2\cdot A_K+A_M$
Mantelfläche des Zylinders: $A_M=2\cdot r \cdot \pi \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_K=r^2\cdot\pi$
Volumen des Zylinders: $V_{Zyl}=A_K \cdot h$ oder $V_{Zyl}=r^2 \cdot \pi \cdot h$

Radius der Grundkreisfläche

Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.

$\displaystyle A_K$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \pi$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_K}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{A_K}{\pi}}$
	↓	Setze $A_K=452{,}16\text{cm}^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{452{,}16\;\text{cm}^2}{\pi}}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{452{,}16\;\text{cm}^2}{3{,}14}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{144\;\text{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle 12\;\text{cm}$

Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r=12\;\text{cm}$ .

Berechnung der Mantelfläche des Zylinders

Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Zyl}$ und du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 die Mantelfläche $A_M$ des Zylinders.

$\displaystyle O_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_K+A_M$	$\displaystyle -2\cdot A_K$
	↓	Löse nach $A_M$ auf.
$\displaystyle O_{Zyl}-2\cdot A_K$	$=$	$\displaystyle A_M$
	↓	Setze $O_{Zyl}=2788{,}32\text{cm}^2$ und $A_K=452{,}16\text{cm}^2$ ein.
$\displaystyle A_M$	$=$	$\displaystyle 2788{,}32\;\text{cm}^2-2\cdot 452{,}16 \;\text{cm}^2$
	$=$	$\displaystyle 2788{,}32\;\text{cm}^2-904{,}32\;\text{cm}^2$
	$=$	$\displaystyle 1884\;\text{cm}^2$

Antwort: Der Zylinder hat eine Mantelfläche von etwa $1884\; \text{cm}^2$ .

Berechnung der Höhe des Zylinders

Du hast den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und den Grundkreisradius $r$ berechnet. Mit Formel Nr. 2 kannst du die gesuchte Höhe $h$ berechnen.

$\displaystyle A_M$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r \cdot \pi \cdot h$	$\displaystyle :(2\cdot r\cdot\pi)$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\displaystyle \dfrac{A_M}{2\cdot r\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Setze $A_M=1884\text{cm}^2$ und $r=12\text{cm}$ ein.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1884 \;\text{cm}^2}{2\cdot 12\;\text{cm}\cdot\pi}$
	↓	$\pi\approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \dfrac{1884 \;\text{cm}^2}{2\cdot 12\;\text{cm}\cdot3{,}14}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1884 \;\text{cm}^2}{75{,}36\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle 25\;\text{cm}$

Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h=25\;\text{cm}$ .

Berechnung des Zylindervolumens

Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Zyl}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_K$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .

$\displaystyle V_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle A_K\cdot h$
	↓	Setze $A_K=452{,}16\text{cm}^2$ und $h=25\text{cm}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 452{,}16\;\text{cm}^2\cdot 25 \;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 11304\;\text{cm}^3$

Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $11304\; \text{cm}^3$ .

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