Lineare Gleichungen

1 Überblick

Dieser Kurs behandelt das Auflösen von Gleichungen nach einer Variablen. Während der erste Abschnitt anhand von einfachen Beispielen und Aufgaben in das Thema einführt, beinhalten die weiteren Abschnitte auch Gleichungen, die in mehreren Schritten aufgelöst werden.

2 Gleichungen

Das Thema Gleichungen kennst du bereits aus der $5$ . Klasse. Heute sollst du dich noch einmal mit dem Thema beschäftigen und dabei einen neuen Weg zum Lösen kennenlernen.

Beim Lösen von Gleichungen (und Ungleichungen) ist es wichtig, ganz sauber und ordentlich nach folgender Struktur zu arbeiten.

Beispiel: (ausführlichers Lösungsweg)

$\displaystyle 3x+(25-7)$	$=$	$\displaystyle 12+21$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle 3x+18$	$=$	$\displaystyle 33$	$\displaystyle -18$
	↓	Alles ohne $x$ auf eine Seite schreiben, wie folgt:
$\displaystyle (3x+18)-18$	$=$	$\displaystyle \ (33)-18$
	↓	Die Operation "-18" durchführen. (Beide Seiten der Gleichung vollständig abschreiben und in Klammern setzen. Danach die Operation auf beiden Seiten ausführen. Anschließend Klammern auflösen.)
$\displaystyle 3x+18-18$	$=$	$\displaystyle 33-18$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle :3$
	↓	Operation ":3" durchführen. (Die Zahl vor dem x mit : "rüber bringen".)
$\displaystyle \tfrac{3x}{3}$	$=$	$\displaystyle \tfrac{15}{3}$
	↓	Kürzen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \tfrac{15}{3}$
	↓	Kürzen
	$=$	$\displaystyle 5$

Des Weiteren musst du die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ und Grundmenge $\mathbb{G}$ beachten! Solltest du nicht mehr wissen, was sich dahinter verbirgt, schau in deinem Matheheft oder Buch nach.

Löse nach dem gleichen Schema folgende Aufgaben in deinem Heft:

a) $5 x - 23 = 117$

b) $4 x - 23 = 97$

c) $4^{2} + 3 x = 70$

d) $3^{3} + 2 x = 39$

Hol dir nun die Lösung zu diesem Lernbaustein und vergleiche deine Aufgaben damit ganz genau. Solltest du Fehler haben, ist es ganz wichtig zu schauen, wo diese waren und diese dann zu verbessern.

Erst wenn du keine Fehler in deiner Lösung mehr hast, kannst du mit "Gleichungen üben" weiter machen…

3 Gleichungen üben

Um ein Champion im Umgang mit Gleichungen zu werden, ist es nötig, viel zu üben. Dabei ist es wichtig, die vorher gelernte Struktur einzuhalten.

Noch einen Tipp: Schreibe nach jeder Zeile, was du eigentlich machen möchtest. Dies sieht in unserem Beispiel folgendermaßen aus:

Beispiel:

$\displaystyle 3x+(25-7)$	$=$	$\displaystyle 12+21$
	↓	ausrechnen
$\displaystyle 3x+18$	$=$	$\displaystyle 33$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 33-18$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

Aufgabe 1: Löse nun folgende Gleichungen genau nach diesem Schema in deinem Heft. Achte auf eine korrekte und saubere Arbeitsweise.

a) $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;x-16=35+2\end{array}$

b) $5+3\cdot x=50$

Aufgabe 2: Erstelle eine Gleichung, die zum Text passt. Löse diese anschließend in $\mathbb{G}=\mathbb{N}_0$ .

a) Multipliziert man $5$ mit einer Zahl und addiert $7$ , so erhält man $22$ .

b) Multipliziert man $9$ mit einer Zahl und subtrahiert $11$ , so erhält man $43$ .

Aufgabe 3: Nimm dir nun die Arbeitsblätter $1 - 3$ und löse sie entsprechend dem jeweiligen Beispiel!

4 Übungsaufgaben 1

Beispiel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3x-5=4\;\;\vert+5\\3x=9\;\;\vert:3\\x=3\end{array}$

Aufgaben: Löse folgende Gleichungen nach $x$ auf:

a) $5 + 6 x = 11$

b) $4 x - 41 = 7$

c) $6 x - 7 = 29$

d) $12 + 5 x = 42$

e) $35 + 8 x = 3$

f) $7 + 4 x = 23$

g) $9 x + 11 = 92$

h) $13 x - 7 = 32$

5 Übungsaufgaben 2

Beispiel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2(3x-5)=14\;\;\vert:2\\3x-5=7\;\;\vert+5\\3x=12\;\;\vert:3\\x=4\end{array}$

Aufgaben: Löse folgende Gleichungen nach $x$ auf:

a) $4 (5 + 2 x) = - 12$

b) $7 (4 x - 3) = 7$

c) $3 (4 x + 2) = - 18$

d) $6 (2 x - 3) = 42$

e) $3 (5 + 4 x) = 63$

f) $5 (3 + 4 x) = 55$

g) $3 (12 + 3 x) = 9$

h) $2 (7 x - 3) = 36$

6 Übungsaufgaben 3

Beispiel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3(2x-1)-3=12\;\;\;\vert+3\\3(2x-1)=15\;\;\;\vert:\\2x-1=5\;\;\;\vert+1\\2x=6\;\;\;\;\vert:2\\x=3\end{array}$

Aufgaben: Löse folgende Gleichungen nach $x$ auf:

a) $7 (4 x - 2) + 8 = 50$

b) $5 (8 x + 9) - 3 = 2$

c) $3 (7 x + 11) - 5 = 70$

d) $12 + 2 (4 x - 7) = 46$

e) $4 (3 x - 2) + 7 = 11$