Unabhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt:

$\sf P(A|B)= P(A)$ oder $\sf P(B|A)=P(B)$, wobei $\sf P(A|B)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B ist und $\sf P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist.

Diese Aussage lässt sich umformen zu: $\sf P( A \cap B) =P(A) \cdot P(B)$

Stochastische Abhängigkeit

Sind zwei Ereignisse nicht stochastisch unabhängig, sind sie stochastisch abhängig. Zwei Ereignisse A und B heißen demnach stochastisch abhängig, wenn gilt:

Folgerungen

Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

und genauso:  $\sf P(B|A)=P(B)$

Unterschied zwischen kausaler und stochastischer Unabhängigkeit

Stochastische Abhängigkeit bedeutet nicht das gleiche wie kausale Abhängigkeit, also die Art von Zusammenhang, die man aus dem Alltag kennt.

Zwei Ereignisse können wohl stochastisch abhängig sein, indem sie die oben genannte Definition erfüllen, müssen aber dann noch nicht zueinander in Ursache und Wirkung voneinander abhängen.

Bei dem Ausdruck stochastische Abhängigkeit handelt es sich um einen mathematischen Fachbegriff. Wenn klar ist, dass nicht der umgangssprachliche Begriff unabhängig gemeint ist, lässt man häufig auch den Zusatz weg.

Beispiele

Beispiel 1: Stochastische Abhängigkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen. Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl größer gleich 2". $\sf A=\left\{2;4;6\right\}$ mit $\sf P(A)=\dfrac36=\dfrac12$ $\sf B=\left\{2;3;4;5;6\right\}$ mit $\sf P(B)=\dfrac{5}{6}$ $\sf A\cap B=\left\{2;4;6\right\}$ mit $\sf P(A\cap B)=\dfrac36=\dfrac12$ Dann ist: $\sf P(A)\cdot P(B)=\dfrac12\cdot\dfrac56=\dfrac5{12}\neq\dfrac12=P(A\cap B)$ Also sind A und B stochastisch abhängig.

Beispiel 2: Stochastische Unabhängigkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen. Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl durch 3 teilbar". $\sf A=\left\{2;4;6\right\}$ mit $\sf P(A)=\dfrac36=\dfrac12$ $\sf B=\left\{3;6\right\}$ mit $\sf P(B)=\dfrac26=\dfrac13$ $\sf A\cap B=\left\{6\right\}$ mit $\sf P(A\cap B)=\dfrac16$

Dann ist: $\sf P(A)\cdot P(B)=\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16=P(A\cap B)$ also sind A und B stochastisch unabhängig.

Hier findest du weitere Aufgaben zum Üben!

Video zur stochastischen Unabhängigkeit