Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt:
%%P(A|B)= P(A)%% oder %%P(B|A)=P(B)%%,
wobei %%P(A|B)%% die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B ist und %%P(B|A)%% die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist.
Diese Aussage lässt sich umformen zu: %%P( A \cap B) =P(A) \cdot P(B)%%
Stochastische Abhängigkeit
Sind zwei Ereignisse nicht stochastisch unabhängig, sind sie stochastisch abhängig.
Zwei Ereignisse A und B heißen demnach stochastisch abhängig, wenn gilt:
$$P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$$
Folgerungen
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$$P(\left.A\right|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$$
und genauso: %%P(B|A)=P(B)%%
Unterschied zwischen kausaler und stochastischer Unabhängigkeit
Stochastische Abhängigkeit bedeutet nicht das gleiche wie kausale Abhängigkeit, also die Art von Zusammenhang, die man aus dem Alltag kennt.
Zwei Ereignisse können wohl stochastisch abhängig sein, indem sie die oben genannte Definition erfüllen, müssen aber dann noch nicht zueinander in Ursache und Wirkung voneinander abhängen.
Bei dem Ausdruck stochastische Abhängigkeit handelt es sich um einen mathematischen Fachbegriff. Wenn klar ist, dass nicht der umgangssprachliche Begriff unabhängig gemeint ist, lässt man häufig auch den Zusatz weg.
Beispiele
Beispiel 1: Stochastische Abhängigkeit
Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl größer gleich 2".
%%A=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A)=\frac36=\frac12%%
%%B=\left\{2;3;4;5;6\right\}%% mit %%P(B)=\frac{5}{6}%%
%%A\cap B=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A\cap B)=\frac36=\frac12%%
Dann ist: %%P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac56=\frac5{12}\neq\frac12=P(A\cap B)%%
Also sind A und B stochastisch abhängig.
Beispiel 2: Stochastische Unabhängigkeit
Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl durch 3 teilbar". %%A=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A)=\frac36=\frac12%%
%%B=\left\{3;6\right\}%% mit %%P(B)=\frac26=\frac13%%
%%A\cap B=\left\{6\right\}%% mit %%P(A\cap B)=\frac16%%
Dann ist: %%P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac13=\frac16=P(A\cap B)%% also sind A und B stochastisch unabhängig.
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