Quantor

Die Quantoren $\exists$ und $\forall$ heißen Existenz- und Allquantor. Sie sind Operatoren und werden in der Logik, bzw. damit einhergehend Mathematik, verwendet, um Aussagen zu formulieren.

Allquantor, Existenzquantor und dessen Varianten

$\exists$ : Dieser Quantor heißt „Es gibt (mindestens eins)“.

$\nexists$ : Dieser Quantor heißt „Es gibt kein“.

$\exists!$ : Dieser Quantor heißt: „Es gibt genau ein“.

$\forall$ : Dieser Quantor heißt „Für alle“.

Weitere Beispiele

Beispiel 1:

$\forall n\in \mathbb{N}\ \exists p\in \mathbb{N}:p>n$ und $p$ Primzahl

Beispiel 2

In jeder deutschen Stadt gibt es einen Bürger, der ein Haus besitzt

Verhalten der Quantoren bei Negation

Aussagen, wie z. B. „Für alle Elemente $x$ einer Menge $M$ gibt es ein Element $m$ , sodass $m>x$ “, können in Quantorenschreibweise dargestellt werden:

\displaystyle \forall x\in M,~\exists m\in M:m>x.

Diese Aussage, nennen wir sie $A$ , kann negiert werden. Damit ist $\neg A:$

\displaystyle \forall x\in M,~\exists m\in M:m>x.

Die Negation „Es gibt ein Element $m$ für alle $x$ sodass $x\ge m$ “, ist das genaue Gegenteil der oberen Aussage: Erst wieder behauptet, jedes Element $x$ könne überboten werden durch ein $m$ und nun gibt es ein $x$ , welches größer (gleich) ist als (wie) alle $m$ .

Die Regeln für das Negieren einer Aussage (neben der Umkehrung der letzten Gleichung) lauten:

\displaystyle \forall x\in M,~\exists m\in M:m>x.

\displaystyle \forall x\in M,~\exists m\in M:m>x.

Die Operatoren werden sozusagen ausgetauscht.

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