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Quantor

Die Quantoren \exists und \forall heißen Existenz- und Allquantor. Sie sind Operatoren und werden in der Logik, bzw. damit einhergehend Mathematik, verwendet, um Aussagen zu formulieren.

Allquantor, Existenzquantor und dessen Varianten

\exists: Dieser Quantor heißt „Es gibt (mindestens eins)“.

\nexists: Dieser Quantor heißt „Es gibt kein“.

!\exists!: Dieser Quantor heißt: „Es gibt genau ein“.

\forall: Dieser Quantor heißt „Für alle“.

Weitere Beispiele

Beispiel 1:

nN pN:p>n\forall n\in \mathbb{N}\ \exists p\in \mathbb{N}:p>n und pp Primzahl

Beispiel 2

In jeder deutschen Stadt gibt es einen Bürger, der ein Haus besitzt

Verhalten der Quantoren bei Negation

Aussagen, wie z. B. „Für alle Elemente xx einer Menge MM gibt es ein Element mm, sodass m>xm>x“, können in Quantorenschreibweise dargestellt werden:

Diese Aussage, nennen wir sie AA, kann negiert werden. Damit ist ¬A:\neg A:

Die Negation „Es gibt ein Element mm für alle xx sodass xmx\ge m“, ist das genaue Gegenteil der oberen Aussage: Erst wieder behauptet, jedes Element xx könne überboten werden durch ein mm und nun gibt es ein xx, welches größer (gleich) ist als (wie) alle mm.

Die Regeln für das Negieren einer Aussage (neben der Umkehrung der letzten Gleichung) lauten:

Die Operatoren werden sozusagen ausgetauscht.

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