Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen.

Das Schöne bei Rotationskörpern ist, das man alleine durch die Kurvengleichung das Volumen oder die Oberfläche des Körpers berechnen kann.  

Bekannte Rotationskörper

Körper

Erzeugende Kurve und Rotationsachse

Kugel mit Radius r

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{r}}^2\text{bzw.}\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{x}}^2}$ und Rotation um die x-Achse

oder $\mathrm{x}=\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{y}}^2}$ und Rotation um die y-Achse.

Offener Zylinder mit Radius r und Höhe h

$\mathrm{y}=\mathrm{r},\mathrm{D}=[0;\mathrm{h}]$ (Definitionsbereich zwischen 0 und h) und Rotation um x-Achse.

$\mathrm{x}=\mathrm{r},\mathrm{W}=[0;\mathrm{h}]$ (Wertebereich zwischen 0 und h) und Rotation um y-Achse.

Offener Kegel mit Radius r und Höhe h

$\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{h}}\mathrm{x}+\mathrm{r},\mathrm{D}=[0;\mathrm{h}]$ und Rotation um die x-Achse.

$\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{h}}\mathrm{y}+\mathrm{r},\mathrm{D}=[0;\mathrm{r}]$ und Rotation um die y-Achse.

Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen. Dabei können auch viele Alltagsgegenstände entstehen. Bei leicht wellenartigen Funktionen entstehen zum Beispiel Vasen; lässt man einen ganzen Kreis um eine Achse rotieren entsteht ein Torus, eine Art "Donut".

/// Ein anschauliches Beispiel

Sieht die Kurve einer Funktion in der Ebene so aus,

dann sieht der Rotationskörper (bei Rotation um die x-Achse der Ebene von oben) so aus:

Folgt man mit den Augen einer der ungefähr horizontal verlaufenden Linien, so kann man die Ausgangsfunktion wiedererkennen, die zuerst stark steigt und dann langsam abfällt.

Auch die Zeichengrenzen der Kurve sind bei 0 und 50 erhalten geblieben.

///

Rechnen mit Rotationskörpern

Volumen

Rotation um die x-Achse

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die x-Achse rotiert lautet die Formel

     $\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

a und b geben die Grenzen des Definitionsbereichs an und $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ ist die Funktion der rotierenden Kurve, die die x-Achse nichtschneiden darf.

Rotation um die y-Achse

Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die y-Achse wird die

Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ stetig und streng monoton ist.  Die Formel lautet

     $\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\min \{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right);\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\}}^{\max \{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right);\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\}}{\left({\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{y}\text{bzw. }\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}^2\cdot \left|\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$

a und b geben die Grenzen des Definitionsbereichs an, f(a) und f(b) die Grenzen des Wertebereichs.

/// Beispiel

Der Graph der Funktion $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+1,{\mathrm{D}}_{\mathrm{f}}=[-1;2]$ rotiere um die x-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Körpers.

Lösung

$\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.

$\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{-1}^2{({\mathrm{x}}^2+1)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2+1\mathrm{d}\mathrm{x}$

Stammfunktion finden

$\begin{array}{ccc}\mathrm{V}& =& \mathrm{\pi }\cdot ({\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2+1\mathrm{d}\mathrm{x})=\mathrm{\pi }\cdot {[\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5+\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}]}_{-1}^2\\ & =& \mathrm{\pi }\cdot (\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2-(-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1))\\ & =& 15\frac{3}{5}\mathrm{\pi }\end{array}$

///

Oberfläche

Rotation um x-Achse

Die Formel für die Oberfläche M eines Körpers bei Rotation um die x-Achse lautet

     $\mathrm{M}=2\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sqrt{1+{\left(\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

Rotation um y-Achse

Für die Rotation um die y-Achse lautet die Formel der Oberfläche M

     $\mathrm{M}=2\mathrm{\pi }\cdot {\int }_{\min \{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right);\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\}}^{\max \{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right);\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\}}{\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{y}\right)\sqrt{1+{\left(\left({\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{y}\right)\right)‘\right)}^2}\mathrm{d}\mathrm{y}$

Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. a und b sind wieder die Grenzen des Definitionsbereiches.