Rotationskörper berechnen mittels Integration

Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper.

Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve.

Bekannte Rotationskörper

Körper	Erzeugende Kurve und Rotationsachse
Kugel mit Radius $r$	$x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw.}\; y=\sqrt{ r^2- x^2}$ und Rotation um die $x$ -Achse oder $x=\sqrt{ r^2- y^2}$ und Rotation um die $y$ -Achse.
Offener Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$	$y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack$ (Definitionsbereich zwischen $0$ und $h$ ) und Rotation um $x$ -Achse. $x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack$ (Wertebereich zwischen $0$ und $h$ ) und Rotation um $y$ -Achse.
Offener Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$	$y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack$ (Definitionsbereich zwischen $0$ und $h$ ) und Rotation um $x$ -Achse. $x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack$ (Wertebereich zwischen $0$ und $h$ ) und Rotation um $y$ -Achse.
Offener Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$	$y=-\frac{ r}{ h} x+ r,\; D=\lbrack0; h\rbrack$ und Rotation um die $x$ -Achse. $x=-\frac{ r}{ h} y+ r,\; D=\lbrack0; r\rbrack$ und Rotation um die $y$ -Achse.

Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen.

Rechnen mit Rotationskörpern

Im Folgenden findest du die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche von Rotationskörpern. Betrachte auch das Beispiel zur Berechnung der Integrale.

Volumen

Hierbei musst du unterscheiden, ob die Rotation um die $x$ -Achse oder die $y$ -Achse stattfindet.

Rotation um die x-Achse

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die $x$ -Achse rotiert, lautet die Formel

\displaystyle V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d}x

$a$ und $b$ geben die Grenzen des Definitionsbereichs an und $f\left( x\right)$ ist die Funktion der rotierenden Kurve, die die $x$ -Achse nicht schneiden darf.

Rotation um die y-Achse

Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die $y$ -Achse wird die

Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion $f\left( x\right)$ stetig und streng monoton ist. Die Formel lautet

\displaystyle V=\pi\cdot\int_{\min\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}^{\max\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}\left( f^{-1}\left( y\right)\right)^2\operatorname{d} y

beziehungsweise

\displaystyle V=\pi\cdot\int_ a^ b x^2\cdot\left| f'\left( x\right)\right|\operatorname{d} x

$a$ und $b$ geben die Grenzen des Definitionsbereichs an, $f (a)$ und $f (b)$ die Grenzen des Wertebereichs.

BeispielBerechnen des Rotationsvolumens

Der Graph der Funktion $f\left( x\right)= x^2+1,\;\;\;{ D}_ f=\left[-1;2\right]$ rotiere um die $x$ -Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Körpers.

Lösung

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot\int_a^b\left(f\left(x\right)\right)^2dx$
	↓	Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2\left(x^2+1\right)^2dx$
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2 x^4+2 x^2+1\operatorname{d} x$
	↓	Stammfunktion finden und Integral berechnen.
	$=$	$\displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3} x^3 + x\right]_{-1}^2$
	$=$	$\displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} 2^3 + 2 - \left( \frac{1}{5} \cdot (-1)^5 + \frac{2}{3} (-1)^3 -1\right) \right]$
	$=$	$\displaystyle \pi \cdot \left[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 - \left( -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} -1\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle \frac{78}{5} \pi$

Mantelfläche

Auch für die Mantelfläche ergeben sich unterschiedliche Formeln für die Rotation, um die $x$ - und $y$ -Achse.

Rotation um $x$ -Achse

Die Formel für die Mantelfläche M eines Körpers bei Rotation um die $x$ -Achse lautet

\displaystyle M=2\pi\cdot\int_a^bf\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx

Rotation um $y$ -Achse

Für die Rotation um die $y$ -Achse lautet die Formel der Mantelfläche M

\displaystyle M=2\pi\cdot\int_{min\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}^{max\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}f^{-1}\left(y\right)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}\left(y\right)\right)'\right)^2}\operatorname{d}y

Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. $a$ und $b$ sind wieder die Grenzen des Definitionsbereiches.

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