B II - lernen mit Serlo!

Im $ℝ^{3}$ sind die Punkte $A (2 | 2 | 2), P (2 | – 3 | 5)$ und die Ebene

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ mit $r, s \in ℝ$ gegeben.

Zeigen Sie, dass die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Ebene $E$ zusammen mit dem Vektor $\vec{A P}$ eine Basis des $ℝ^{3}$ bilden. Begründen Sie, dass der Punkt $P$ nicht Element der Ebene $E$ ist. (5 BE)
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ und geben Sie die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem an. (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebenen $E$ und $F : x_{1} + x_{3} = 0$ . (3 BE)
Zeigen Sie, dass $A \notin s$ gilt. Entscheiden Sie ohne weitere Rechnung, wie die Schnittgerade $s$ zur Geraden $A P$ liegt. Fertigen Sie hierzu eine aussagekräftige Skizze an. (4 BE)
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geradenschar
$g_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 a \\ 2 \\ a \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 a \end{array})$ mit $a, μ \in ℝ$ und der Ebene $E$ in Abhängigkeit von $a$ . (4 BE)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?