Berechnung der Parameter a, b und $y_1$

Werte des Verflechtungsdiagramms in eine Input-Output Tabelle eintragen:

Aus den Zeilen der Tabelle erhält man folgende Gleichungen:

Die gesuchten Parameter sind $a = 40, b = 140, y_1 = 120$.

Bedeutung im Sachzusammenhang

$a = 40$ bedeutet, dass Betrieb R 40 ME an Betrieb B liefert.

$b = 140$ bedeutet, dass Betrieb S 140 ME seiner Produktion für den Eigenbedarf verwendet.

$y_1 = 120$ bedeutet, dass Betrieb B 120 ME an den Markt liefert.

Berechnung der Inputmatrix A

Die Koordinaten der Matrix A ergeben sich, indem man die Zahlenwerte der Input-Output-Tabelle durch die entsprechenden Werte des Produktionsvektors teilt.

$A = \begin{pmatrix} \frac{160}{400} & \frac{60}{300} & \frac{60}{200} \\ \\ \frac{40}{400} & \frac{120}{300} & \frac{20}{200} \\ \\ \frac{0}{400} & \frac{60}{300} & \frac{140}{200} \end{pmatrix}$$\;\;\Rightarrow\;\;{ A}=\begin{pmatrix}0{,}4&0{,}2&0{,}3\\0{,}1&0{,}4&0{,}1\\0&0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$

Grundgleichung des Leontief-Modells

Gleichung lösen mithilfe des Gauß-Algorithmus:

Setze die Einheitsmatrix, Inputmatrix und den neuen Marktvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.

$(E-A)*\overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & 0.4 \end{pmatrix} , \quad \mathbf{\overrightarrow{y_{\text{neu}}}} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 & -0.3 \\ -0.1 & 0.6 & -0.1 \\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 \end{pmatrix}*\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

Berechne den neuen Produktionsvektor mithilfe des Gauß-Algorithmus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{rrr|c} 0.6 & -0.2 & -0.3 & 82 \\ -0.1 & 0.6 & -0.1 & 84\\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 & 10 \end{array}\right) &\underrightarrow{6 *\mathrm{II}+\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}0.6 & -0.2 & -0.3 & 82 \\ 0 & 3{,}4 & -0.9 & 586\\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 & 10\end{array}\right) \\ \\ &\underrightarrow{17 *\mathrm{III}+\mathrm{II}}&\left(\begin{array}{rrr|c}0.6 & -0.2 & -0.3 & 82 \\ \orange{0} & 3{,}4 & -0.9 & 586\\ \orange{0} & \orange{0} & 4{,}2 & 756\end{array}\right)\end{array}$

Daraus folgt:

$4.2x_3 = 756 ~~~~\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_3 = 180 \\ 3{,}4x_2 -0{,}9 * 180 = 586 ~\qquad\qquad\qquad x_2 = 220 \\ 0{,}6x_1 -0{,}2 * 220 - 0{,}3*180 = 82 \qquad x_1 = 300$

Damit lautet der gesuchte neue Produktionsvektor: $\overrightarrow{x_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 300 \\ 220 \\ 180 \end{pmatrix}$

Ursache für steigende Marktabgabe bei S

Markt: $\qquad \overrightarrow{y_{\text{alt}}} = \begin{pmatrix} 120 \\ 120 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad \overrightarrow{y_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

Produktion: $\qquad \overrightarrow{x_{\text{alt}}} = \begin{pmatrix} 400 \\ 300 \\ 200 \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad \overrightarrow{x_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 300 \\ 220 \\ 180 \end{pmatrix}$

Die Produktion ist in allen drei Betrieben tatsächlich gesunken. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Marktabgabe des Betriebs S dennoch gestiegen ist, lautet, dass die Betriebe B und R weniger produzieren und folglich weniger Mengeneinheiten von S benötigen. Dadurch kann Betrieb S mehr Produkte auf den Markt bringen.