Berechnung der Parameter a, b und $y_1$

Werte des Verflechtungsdiagramms in eine Input-Output Tabelle eintragen:

Aus den Zeilen der Tabelle erhält man folgende Gleichungen:

Die gesuchten Parameter sind $a=40,b=140,y_1=120$.

Bedeutung im Sachzusammenhang

$a=40$ bedeutet, dass Betrieb R 40 ME an Betrieb B liefert.

$b=140$ bedeutet, dass Betrieb S 140 ME seiner Produktion für den Eigenbedarf verwendet.

$y_1=120$ bedeutet, dass Betrieb B 120 ME an den Markt liefert.

Berechnung der Inputmatrix A

Die Koordinaten der Matrix A ergeben sich, indem man die Zahlenwerte der Input-Output-Tabelle durch die entsprechenden Werte des Produktionsvektors teilt.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{160}{400}& \frac{60}{300}& \frac{60}{200}\\ & & \\ \frac{40}{400}& \frac{120}{300}& \frac{20}{200}\\ & & \\ \frac{0}{400}& \frac{60}{300}& \frac{140}{200}\end{array}\right)$$\Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}& \mathrm{0,1}\\ 0& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$

Grundgleichung des Leontief-Modells

Gleichung lösen mithilfe des Gauß-Algorithmus

,Setze die Einheitsmatrix, Inputmatrix und den neuen Marktvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.

$(E-A)\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$

$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,4}\end{array}\right),\overrightarrow{y_{\text{neu}}}=\left(\begin{array}{c}82\\ 84\\ 10\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}\\ -\mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}& -\mathrm{0,1}\\ 0& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)\ast \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}82\\ 84\\ 10\end{array}\right)$

Berechne den neuen Produktionsvektor mithilfe des Gauß-Algorithmus.

$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{rrrc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}& 82\\ -\mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}& -\mathrm{0,1}& 84\\ 0& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}& 10\end{array}\right)& \underrightarrow{6\ast \mathrm{II}+\mathrm{I}}& \left(\begin{array}{rrrc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}& 82\\ 0& \mathrm{3,4}& -\mathrm{0,9}& 586\\ 0& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}& 10\end{array}\right)\\ & & \\ & \underrightarrow{17\ast \mathrm{III}+\mathrm{II}}& \left(\begin{array}{rrrc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}& 82\\ \text{orange}0& \mathrm{3,4}& -\mathrm{0,9}& 586\\ \text{orange}0& \text{orange}0& \mathrm{4,2}& 756\end{array}\right)\end{array}$

Daraus folgt:

$\begin{array}{l}\mathrm{4,2}{x}_3=756x_3=180\\ \mathrm{3,4}{x}_2-\mathrm{0,9}\ast 180=586x_2=220\\ \mathrm{0,6}{x}_1-\mathrm{0,2}\ast 220-\mathrm{0,3}\ast 180=82x_1=300\end{array}$

Damit lautet der gesuchte neue Produktionsvektor: $\overrightarrow{x_{\text{neu}}}=\left(\begin{array}{c}300\\ 220\\ 180\end{array}\right)$

Ursache für steigende Marktabgabe bei S

Markt: $\overrightarrow{y_{\text{alt}}}=\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{y_{\text{neu}}}=\left(\begin{array}{c}82\\ 84\\ 10\end{array}\right)$

Produktion: $\overrightarrow{x_{\text{alt}}}=\left(\begin{array}{c}400\\ 300\\ 200\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{x_{\text{neu}}}=\left(\begin{array}{c}300\\ 220\\ 180\end{array}\right)$

Die Produktion ist in allen drei Betrieben tatsächlich gesunken. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Marktabgabe des Betriebs S dennoch gestiegen ist, lautet, dass die Betriebe B und R weniger produzieren und folglich weniger Mengeneinheiten von S benötigen. Dadurch kann Betrieb S mehr Produkte auf den Markt bringen.

Berechnung des neuen Marktvektors $y(t)$

Setze die Einheitsmatrix, die neue Inputmatrix und den vom Parameter t abhängigen Produktionsvektor $\overrightarrow{x}$ in die Grundgleichung des Leontief-Modells.

$(E-A^{\ast })\ast \overrightarrow{x(t)}=\overrightarrow{y(t)}$

$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& 2-\mathrm{0,004}t& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}& \mathrm{0,1}\\ 0& \mathrm{0,02}(t-8)& \mathrm{0,7}\end{array}\right),\overrightarrow{x(t)}=\left(\begin{array}{c}40t\\ 10t\\ 12t\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& -(2-\mathrm{0,004}t)& -\mathrm{0,3}\\ -\mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}& -\mathrm{0,1}\\ 0& -\mathrm{0,02}(t-8)& \mathrm{0,3}\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}40t\\ 10t\\ 12t\end{array}\right)=\overrightarrow{y(t)}$

$\overrightarrow{y(t)}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,04}{t}^2+\mathrm{0,4}t\\ \mathrm{0,8}t\\ -\mathrm{0,2}{t}^2+\mathrm{5,2}t\end{array}\right)$ mit $t\in [16;22]$

Gemäß dem Hinweis sind die Koordinaten des Marktvektors $\overrightarrow{y(t)}$ für $t\in [16;22]$ nicht negativ, daher muss das hier nicht nachgewiesen oder überprüft werden.

Damit lautet der neue Marktvektor in Abhängigkeit von t: $\overrightarrow{y(t)}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,04}{t}^2+\mathrm{0,4}t\\ \mathrm{0,8}t\\ -\mathrm{0,2}{t}^2+\mathrm{5,2}t\end{array}\right)$

Berechnung der maximalen Summe der Marktabgaben

Die Summe der Marktangaben erhält man durch Addition der drei Koordinaten des neuen Marktvektors $\overrightarrow{y(t)}$. Sei dies $s(t)$, somit gilt:

$s(t)=\mathrm{0,04}{t}^2+\mathrm{0,4}t+\mathrm{0,8}t-\mathrm{0,2}{t}^2+\mathrm{5,2}t$

$s(t)=-\mathrm{0,16}{t}^2+\mathrm{6,4}t$

Die Funktion $s$ beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum liegt somit bei dem Scheitel, sofern dieser im Intervall [16;22] liegt.

Bestimme die erste Ableitung der Funktion s und bestimme das Maximum.

$s^{\prime }(t)=-\mathrm{0,32}+\mathrm{6,4}$

$s^{\prime }(t)=0$

$t_0=20$

Da $t_0\in [16;22]$ liegt, wird die Summe aller Marktabgaben für $t_0=20$ maximal.