Drei konventionelle landwirtschaftliche Betriebe B,R und S sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief – Modell verflochten. Das Diagramm stellt die momentane Verflechtung der Betriebe in Mengenein-heiten ME dar, mit a,b,y1∈R+.
Bestimmen Sie a, b und y und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an. Berechnen Sie die Inputmatrix A. (6 BE)
Berechnung der Parameter a, b und y1
Werte des Verflechtungsdiagramms in eine Input-Output Tabelle eintragen:
B
R
S
Markt
Produktion
B
160
60
60
y1
400
R
a
120
20
120
300
S
0
60
b
0
200
Aus den Zeilen der Tabelle erhält man folgende Gleichungen:
160+60+60+y1
=
400
↓
nach y1 umformen
y1
=
400−160−60−60=120
a+120+20+120
=
300
↓
nach a umformen
a
=
300−120−20−120=40
60+b
=
200
↓
nach b umformen
b
=
200−60=140
Die gesuchten Parameter sind a=40,b=140,y1=120.
Bedeutung im Sachzusammenhang
a=40 bedeutet, dass Betrieb R 40 ME an Betrieb B liefert.
b=140 bedeutet, dass Betrieb S 140 ME seiner Produktion für den Eigenbedarf verwendet.
y1=120 bedeutet, dass Betrieb B 120 ME an den Markt liefert.
Berechnung der Inputmatrix A
Die Koordinaten der Matrix A ergeben sich, indem man die Zahlenwerte der Input-Output-Tabelle durch die entsprechenden Werte des Produktionsvektors teilt.
Bestimme Parameter a, b und y1 mittels Zeilenoperationen.
Bestimme Koordinaten der Inputmatrix A.
In der nächsten Produktionsperiode wird erwartet, dass die Nachfrage von Produkten der Betriebe B auf 82ME und R auf 84ME sinkt. Betrieb S soll 10ME an den Markt liefern. Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor. Nennen Sie die Ursache dafür, dass trotz des Absinkens der Produktion in allen drei Betrieben die Marktabgabe in einem Betrieb steigt. (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
Grundgleichung des Leontief-Modells
Gleichung lösen mithilfe des Gauß-Algorithmus
,Setze die Einheitsmatrix, Inputmatrix und den neuen Marktvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.
Die Produktion ist in allen drei Betrieben tatsächlich gesunken. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Marktabgabe des Betriebs S dennoch gestiegen ist, lautet, dass die Betriebe B und R weniger produzieren und folglich weniger Mengeneinheiten von S benötigen. Dadurch kann Betrieb S mehr Produkte auf den Markt bringen.
Verwende die Grundgleichung des Leontief-Modells um den neuen Produktionsvektor zu berechnen.
Löse die Gleichung mithilfe des Gauß-Algorithmus.
Vergleiche die alten und neuen Produktion- und Marktvektoren.
Die Betriebe entschließen sich mittelfristig auf biologische Betriebsführung umzustellen. Für die Umstellungszeit ergibt sich die neue Inputmatrix
A∗=0,40,102−0,004t0,40,02(t−8)0,30,10,7
Dabei ist t∈[16;22] ein technologieabhängiger Parameter. Berechnen Sie, für welchen Wert von t die Summe der Marktabgaben aller drei Betriebe am größten ist, wenn der Produktionsvektor x=(40t10t12t)⊤ geplant ist.
Hinweis: Es kann davon ausgegangen werden, dass die Marktabgaben der drei Betriebe für t∈[16;22] nicht negativ sind. (8 BE)
Gemäß dem Hinweis sind die Koordinaten des Marktvektors y(t) für t∈[16;22] nicht negativ, daher muss das hier nicht nachgewiesen oder überprüft werden.
Damit lautet der neue Marktvektor in Abhängigkeit von t: y(t)=0,04t2+0,4t0,8t−0,2t2+5,2t
Berechnung der maximalen Summe der Marktabgaben
Die Summe der Marktangaben erhält man durch Addition der drei Koordinaten des neuen Marktvektors y(t). Sei dies s(t), somit gilt:
s(t)=0,04t2+0,4t+0,8t−0,2t2+5,2t
s(t)=−0,16t2+6,4t
Die Funktion s beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum liegt somit bei dem Scheitel, sofern dieser im Intervall [16;22] liegt.
Bestimme die erste Ableitung der Funktion s und bestimme das Maximum.
s′(t)=−0,32+6,4
s′(t)=0
t0=20
Da t0∈[16;22] liegt, wird die Summe aller Marktabgaben für t0=20 maximal.