Berechnung der Parameter a, b und $y_1$

Werte des Verflechtungsdiagramms in eine Input-Output Tabelle eintragen:

Aus den Zeilen der Tabelle erhält man folgende Gleichungen:

Die gesuchten Parameter sind $a = 40, b = 140, y_1 = 120$.

Bedeutung im Sachzusammenhang

$a = 40$ bedeutet, dass Betrieb R 40 ME an Betrieb B liefert.

$b = 140$ bedeutet, dass Betrieb S 140 ME seiner Produktion für den Eigenbedarf verwendet.

$y_1 = 120$ bedeutet, dass Betrieb B 120 ME an den Markt liefert.

Berechnung der Inputmatrix A

Die Koordinaten der Matrix A ergeben sich, indem man die Zahlenwerte der Input-Output-Tabelle durch die entsprechenden Werte des Produktionsvektors teilt.

$A = \begin{pmatrix} \frac{160}{400} & \frac{60}{300} & \frac{60}{200} \\ \\ \frac{40}{400} & \frac{120}{300} & \frac{20}{200} \\ \\ \frac{0}{400} & \frac{60}{300} & \frac{140}{200} \end{pmatrix}$$\;\;\Rightarrow\;\;{ A}=\begin{pmatrix}0{,}4&0{,}2&0{,}3\\0{,}1&0{,}4&0{,}1\\0&0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$

Grundgleichung des Leontief-Modells

Gleichung lösen mithilfe des Gauß-Algorithmus

,Setze die Einheitsmatrix, Inputmatrix und den neuen Marktvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.

$(E-A)*\overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$

${E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad {A} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix} , \quad {\overrightarrow{y_{\text{neu}}}} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}2 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 0{,}6 & -0{,}1 \\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 \end{pmatrix}*\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

Berechne den neuen Produktionsvektor mithilfe des Gauß-Algorithmus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{rrr|c} 0{,}6 & -0{,}2 & -0{,}3 & 82 \\ -0{,}1 & 0{,}6 & -0{,}1 & 84\\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 & 10 \end{array}\right) &\underrightarrow{6 *\mathrm{II}+\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}0{,}6 & -0{,}2 & -0{,}3 & 82 \\ 0 & 3{,}4 & -0{,}9 & 586\\ 0 & -0{,}2 & 0{,}3 & 10\end{array}\right) \\ \\ &\underrightarrow{17 *\mathrm{III}+\mathrm{II}}&\left(\begin{array}{rrr|c}0{,}6 & -0{,}2 & -0{,}3 & 82 \\ \orange{0} & 3{,}4 & -0{,}9 & 586\\ \orange{0} & \orange{0} & 4{,}2 & 756\end{array}\right)\end{array}$

Daraus folgt:

$4{,}2x_3 = 756 ~~~~\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_3 = 180 \\ 3{,}4x_2 -0{,}9 * 180 = 586 ~\qquad\qquad\qquad x_2 = 220 \\ 0{,}6x_1 -0{,}2 * 220 - 0{,}3*180 = 82 \qquad x_1 = 300$

Damit lautet der gesuchte neue Produktionsvektor: $\overrightarrow{x_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 300 \\ 220 \\ 180 \end{pmatrix}$

Ursache für steigende Marktabgabe bei S

Markt: $\qquad \overrightarrow{y_{\text{alt}}} = \begin{pmatrix} 120 \\ 120 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad \overrightarrow{y_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 82 \\ 84 \\ 10 \end{pmatrix}$

Produktion: $\qquad \overrightarrow{x_{\text{alt}}} = \begin{pmatrix} 400 \\ 300 \\ 200 \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad \overrightarrow{x_{\text{neu}}} = \begin{pmatrix} 300 \\ 220 \\ 180 \end{pmatrix}$

Die Produktion ist in allen drei Betrieben tatsächlich gesunken. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Marktabgabe des Betriebs S dennoch gestiegen ist, lautet, dass die Betriebe B und R weniger produzieren und folglich weniger Mengeneinheiten von S benötigen. Dadurch kann Betrieb S mehr Produkte auf den Markt bringen.

Berechnung des neuen Marktvektors $y(t)$

Setze die Einheitsmatrix, die neue Inputmatrix und den vom Parameter t abhängigen Produktionsvektor $\overrightarrow{x}$ in die Grundgleichung des Leontief-Modells.

$(E-A^*)*\overrightarrow{x(t)} = \overrightarrow{y(t)}$

${E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad {A^*} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 2-0{,}004t & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ 0 & 0{,}02(t-8) & 0{,}7 \end{pmatrix} , \quad {\overrightarrow{x(t)}} = \begin{pmatrix} 40t \\ 10t \\ 12t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0{,}6 & -(2-0{,}004t) & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 0{,}6 & -0{,}1 \\ 0 & -0{,}02(t-8) & 0{,}3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 40t \\ 10t\\ 12t \end{pmatrix} = \overrightarrow{y(t)}$

$\overrightarrow{y(t)} = \begin{pmatrix} 0{,}04t^2 + 0{,}4t \\ 0{,}8t \\ -0{,}2t^2 + 5{,}2t\end{pmatrix}$ mit $t \in [16;22]$

Gemäß dem Hinweis sind die Koordinaten des Marktvektors $\overrightarrow{y(t)}$ für $t \in [16;22]$ nicht negativ, daher muss das hier nicht nachgewiesen oder überprüft werden.

Damit lautet der neue Marktvektor in Abhängigkeit von t: $\overrightarrow{y(t)} = \begin{pmatrix} 0{,}04t^2 + 0{,}4t \\ 0{,}8t \\ -0{,}2t^2 + 5{,}2t\end{pmatrix}$

Berechnung der maximalen Summe der Marktabgaben

Die Summe der Marktangaben erhält man durch Addition der drei Koordinaten des neuen Marktvektors $\overrightarrow{y(t)}$. Sei dies $s(t)$, somit gilt:

$s(t) = 0{,}04t^2 + 0{,}4t + 0{,}8t - 0{,}2t^2 + 5{,}2t$

$s(t) = -0{,}16t^2 + 6{,}4t$

Die Funktion $s$ beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum liegt somit bei dem Scheitel, sofern dieser im Intervall [16;22] liegt.

Bestimme die erste Ableitung der Funktion s und bestimme das Maximum.

$s'(t) = -0{,}32 + 6{,}4$

$s'(t) = 0$

$t_0 = 20$

Da $t_0 \in [16;22]$ liegt, wird die Summe aller Marktabgaben für $t_0 = 20$ maximal.