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B II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Im R3\mathbb{R}^3 sind die Punkte A(222),P(235)A(2\vert 2\vert 2), P(2\vert –3\vert 5) und die Ebene

    E:x=(222)+r(200)+s(210)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit r,sRr, s \in \mathbb{R} gegeben.

    1. Zeigen Sie, dass die beiden Richtungsvektoren u\vec{u} und v\vec{v} der Ebene EE zusammen mit dem Vektor AP\overrightarrow{AP} eine Basis des R3\mathbb{R}^3 bilden. Begründen Sie, dass der Punkt PP nicht Element der Ebene EE ist. (5 BE)

    2. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene EE und geben Sie die besondere Lage von EE im Koordinatensystem an. (3 BE)

    3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden ss der Ebenen EE und F:x1+x3=0F:x_1 + x_3 = 0. (3 BE)

    4. Zeigen Sie, dass AsA \notin s gilt. Entscheiden Sie ohne weitere Rechnung, wie die Schnittgerade ss zur Geraden APAP liegt. Fertigen Sie hierzu eine aussagekräftige Skizze an. (4 BE)

    5. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geradenschar

      ga:x=(2a2a)+μ(122a)g_a:\vec{x}= \begin{pmatrix}2a \\ 2 \\a \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2a \end{pmatrix} mit a,μRa, \mu \in \mathbb{R} und der Ebene EE in Abhängigkeit von aa. (4 BE)

  2. 2

    Drei konventionelle landwirtschaftliche Betriebe B,RB, R und SS sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief – Modell verflochten. Das Diagramm stellt die momentane Verflechtung der Betriebe in Mengenein-heiten MEME dar, mit a,b,y1R+a, b, y_1 \in \mathbb{R}^+.

    Bild
    1. Bestimmen Sie aa, bb und yy und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an. Berechnen Sie die Inputmatrix AA. (6 BE)

    2. In der nächsten Produktionsperiode wird erwartet, dass die Nachfrage von Produkten der Betriebe BB auf 82 ME82\ ME und RR auf 84 ME84\ ME sinkt. Betrieb SS soll 10 ME10\ ME an den Markt liefern. Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor. Nennen Sie die Ursache dafür, dass trotz des Absinkens der Produktion in allen drei Betrieben die Marktabgabe in einem Betrieb steigt. (7 BE)

    3. Die Betriebe entschließen sich mittelfristig auf biologische Betriebsführung umzustellen. Für die Umstellungszeit ergibt sich die neue Inputmatrix

      A=(0,420,004t0,30,10,40,100,02(t8)0,7)A^* = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 2-0{,}004t & 0{,}3 \\0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}1 \\0 & 0{,}02(t-8) & 0{,}7\end{pmatrix}

      Dabei ist t[16;22]t \in [16; 22] ein technologieabhängiger Parameter. Berechnen Sie, für welchen Wert von tt die Summe der Marktabgaben aller drei Betriebe am größten ist, wenn der Produktionsvektor x=(40t    10t    12t)\vec{x}= (40t \;\; 10t \;\; 12t)^\top geplant ist.

      Hinweis: Es kann davon ausgegangen werden, dass die Marktabgaben der drei Betriebe für t[16;22]t \in [16;22] nicht negativ sind. (8 BE)


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