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Grundlagen der Logik

9De Morgansche Regeln (in Arbeit)

Was bedeutet es, wenn man eine "Und"-Aussage negiert? Probiere das an einem Beispiel aus und nimm die Gleichung (x1)(x2)=0(x-1)(x-2)=0. Dann haben wir zwei Aussagen:

AA: 11 ist eine Lösung der Gleichung

BB: 22 ist eine Lösung der Gleichung

Dann ist - da AA und BB beide wahr sind, ABA\wedge B auch wahr.

Was würde es bedeuten, wenn ABA\wedge B falsch wäre? Dann müsste entweder 11 keine Lösung sein oder 22 ist keine Lösung.

Also könnten AA und BB nicht gleichzeitig gelten - daher muss mindestens eine der Aussagen falsch sein. Nach den Regeln der Negation heißt das, dass entweder ¬A\neg A oder ¬B\neg B wahr sein muss, also ¬A¬B\neg A \vee \neg B.

Das ist eine der de Morganschen Regeln:

¬(AB)\neg(A \wedge B) ist gleichbedeutend mit (¬A)(¬B)(\neg A)\vee (\neg B).

Dafür benutzt man auch das Zeichen \Leftrightarrow (die genaue Bedeutung wird im Abschnitt über Äquivalenz erklärt):

¬(AB)(¬A)(¬B)\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow(\neg A)\vee(\neg B)

Die andere de Morgansche Regel ist

¬(AB)(¬A)(¬B)\neg(A\vee B)\Leftrightarrow(\neg A)\wedge(\neg B)

Diese Regel kann man so erklären: wenn ABA\vee B falsch ist, dann müssen ¬A\neg A und ¬B\neg B wahr sein.

Zu kompliziert gedacht? Dafür haben wir ja die Möglichkeit, die Äquivalenz der Ausdrücke mit Wahrheitswerttabellen nachzuprüfen:

AA

BB

ABA\wedge B

¬(AB)\color{red}{\neg(A\wedge B)}

¬A\neg A

¬B\neg B

(¬A)(¬B)\color{red}{(\neg A)\vee(\neg B)}

ww

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Da die roten Spalten übereinstimmen, sind die beiden Ausdrücke äquivalent.


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CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?