9De Morgansche Regeln (in Arbeit)

Was bedeutet es, wenn man eine "Und"-Aussage negiert? Probiere das an einem Beispiel aus und nimm die Gleichung $(x-1)(x-2)=0$. Dann haben wir zwei Aussagen:

$A$: $1$ ist eine Lösung der Gleichung

$B$: $2$ ist eine Lösung der Gleichung

Dann ist - da $A$ und $B$ beide wahr sind, $A\wedge B$ auch wahr.

Was würde es bedeuten, wenn $A\wedge B$ falsch wäre? Dann müsste entweder $1$ keine Lösung sein oder $2$ ist keine Lösung.

Also könnten $A$ und $B$ nicht gleichzeitig gelten - daher muss mindestens eine der Aussagen falsch sein. Nach den Regeln der Negation heißt das, dass entweder $\neg A$ oder $\neg B$ wahr sein muss, also $\neg A \vee \neg B$.

Das ist eine der de Morganschen Regeln:

Dafür benutzt man auch das Zeichen $\Leftrightarrow$ (die genaue Bedeutung wird im Abschnitt über Äquivalenz erklärt):

Die andere de Morgansche Regel ist

Diese Regel kann man so erklären: wenn $A\vee B$ falsch ist, dann müssen $\neg A$ und $\neg B$ wahr sein.

Zu kompliziert gedacht? Dafür haben wir ja die Möglichkeit, die Äquivalenz der Ausdrücke mit Wahrheitswerttabellen nachzuprüfen:

Da die roten Spalten übereinstimmen, sind die beiden Ausdrücke äquivalent.