Aufgaben zu Kugeln und Tangentialkegel

Im rechtwinkligen Dreieck $MPB$ gilt der Kathetensatz: $b^2=q\cdot c$

$b=r$, $q=\overline{MF}$ und $c= \overline{MP}$

$\Rightarrow\;\; r^2= \overline{MF} \cdot \overline{MP}\;\;\Rightarrow\;\; \overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}$

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ und berechne den Abstand des Punktes $M$ von $E$.

$E_{HNF}:\;\dfrac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{(-6)^2+0^2+(-1)^2}}=0\Rightarrow\;\;\dfrac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{37}}=0$

Abstand des Punktes $M$ von $E$:

$\overline{MF}=d(M,E)=\left|\dfrac{-6\cdot (-4)-1\cdot 5-11}{\sqrt{37}}\right|=\left|\dfrac{8}{\sqrt{37}}\right|=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$

Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ beträgt $\overline{MF}=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$ .

Berechne nun $\overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}$, dabei ist $r=4$ und $\overline{MF}=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$

$\Rightarrow\;\; \overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}=\dfrac{16}{\dfrac{8}{\sqrt{37}}}=2\cdot \sqrt{37}$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{MP}$, indem du seine Länge $2\cdot \sqrt{37}$ mit dem Einheitsvektor $\vec n_0$ multiplizierst.

Berechne nun den Vektor $\overrightarrow{MP}$ mit $\overline{MP}=2\cdot \sqrt{37}$ und $\vec n_0=\dfrac{1}{\sqrt{37}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{MP}=\overline{MP}\cdot \vec n_0=2\cdot \sqrt{37} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{37}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\0\\1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}12\\0\\2\end{pmatrix}$

Der gesuchte Punkt $P$ kann nun berechnet werden:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}= \begin{pmatrix}-4\\1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1\\7\end{pmatrix}$

Antwort: Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(8|1|7)$.