Aufgaben zu Kugeln und Tangentialkegel

Hier findest du Übungsaufgaben zu Kugeln und Tangentialkegeln. Lerne, mit Kugeln Tangentialkegel zu konstruieren!

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Gegeben sind eine Kugel $K$ und eine Ebene $E$ :
$K:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}-4\\1\\5\end{pmatrix}\right)^2=16$ und $E:\; 6x_1+x_3=-11$
Von einem Punkt $P$ aus werden Tangenten an die Kugel $K$ gelegt. Alle Berührpunkte mit der Kugel liegen auf einem Kreis, der in der gegebenen Ebene $E$ liegt. Berechne die Koordinaten dieses Punktes $P$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialkegel
Für den Punkt $P$ gilt folgende Gleichung:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$
$\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}-4\\1\\5\end{pmatrix}$
Der Vektor $\overrightarrow{MP}$ muss berechnet werden.
Im rechtwinkligen Dreieck $M P B$ gilt der Kathetensatz: $b^2=q\cdot c$
$b = r$ , $q=\overline{MF}$ und $c= \overline{MP}$
$\Rightarrow\;\; r^2= \overline{MF} \cdot \overline{MP}\;\;\Rightarrow\;\; \overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}$
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ und berechne den Abstand des Punktes $M$ von $E$ .
$E_{HNF}:\;\dfrac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{(-6)^2+0^2+(-1)^2}}=0\Rightarrow\;\;\dfrac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{37}}=0$
Abstand des Punktes $M$ von $E$ :
$\overline{MF}=d(M,E)=\left|\dfrac{-6\cdot (-4)-1\cdot 5-11}{\sqrt{37}}\right|=\left|\dfrac{8}{\sqrt{37}}\right|=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$
Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ beträgt $\overline{MF}=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$ .
Berechne nun $\overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}$ , dabei ist $r = 4$ und $\overline{MF}=\dfrac{8}{\sqrt{37}}$
$\Rightarrow\;\; \overline{MP}=\dfrac{r^2}{\overline{MF}}=\dfrac{16}{\dfrac{8}{\sqrt{37}}}=2\cdot \sqrt{37}$
Berechne den Vektor $\overrightarrow{MP}$ , indem du seine Länge $2\cdot \sqrt{37}$ mit dem Einheitsvektor $\vec n_0$ multiplizierst.
Berechne nun den Vektor $\overrightarrow{MP}$ mit $\overline{MP}=2\cdot \sqrt{37}$ und $\vec n_0=\dfrac{1}{\sqrt{37}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\0\\1\end{pmatrix}}$
$\overrightarrow{MP}=\overline{MP}\cdot \vec n_0=2\cdot \sqrt{37} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{37}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\0\\1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}12\\0\\2\end{pmatrix}$
Der gesuchte Punkt $P$ kann nun berechnet werden:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}= \begin{pmatrix}-4\\1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1\\7\end{pmatrix}$
Antwort: Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (8 ∣ 1 ∣ 7)$ .
Um den Punkt $P$ zu berechnen, benötigst du den Vektor $\overrightarrow{MP}$ . Die Länge dieses Vektors kannst du mit dem Kathetensatz $b^2=q\cdot c$ berechnen. Dabei ist $b = r$ , $c= \overline{MP}$ und $q=\overline{MF}$ ist der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene $E$ . Berechne dann den Vektor $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$ .

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