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Aufgabe A3

Gegeben ist ein Schrägbild des Würfels ABCDEFGHABCDEFGH mit AB=4  cm\overline{AB}=4\;\text{cm}.

PP ist der Mittelpunkt der Strecke [AD][AD], QQ ist der Mittelpunkt der Strecke [AC][AC] und RR ist der Mittelpunkt der Strecke [EG][EG].

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Würfel
  1. Punkte Sn[QR]S_n\in [QR] legen zusammen mit PP und QQ Winkel QPSnQPS_n mit dem Maß φ\varphi fest.

    Sie sind für φ[0;63,43[\varphi\in[0^\circ;63{,}43^\circ[ die Spitzen von Pyramiden EFGHSnEFGHS_n mit der Grundfläche EFGHEFGH.

    Zeichnen Sie die Strecke [PS1][PS_1] und die Pyramide EFGHS1EFGHS_1 für φ=30\varphi=30^\circ in die Zeichnung zu 3 ein. (1 P)

  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VVder Pyramiden EFGHSnEFGHS_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=(21,3310,67tanφ)  cm3V(\varphi)=(21{,}33-10{,}67\cdot\tan\varphi)\;\text{cm}^3. (3 P)

  3. Unter den Pyramiden EFGHSnEFGHS_n hat die Pyramide EFGHS0EFGHS_0 das maximale Volumen V0V_0.

    Begründen Sie, weshalb gilt: VWu¨rfel:V0=3:1V_{\text{Würfel}}:V_0=3:1 (2 P)