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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Informationen über die Leistungsfähigkeit eines Sportlers kann man mithilfe von sogenannten Laktat-Tests ermitteln, da die Laktat-Konzentration im Blut mit steigender Laufgeschwindigkeit zunimmt.

    Bei einem solchen Test wird die Laktat-Konzentration ymmolly\dfrac{\text{mmol}}{\text{l}} (Millimol pro Liter Blut) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit xkmhx \dfrac{\text{km}}{\text{h}} erfasst.

    Für Paul lässt sich dieser Zusammenhang bei einem Test näherungsweise durch die Funktion f f mit der Gleichung y=0,011,5x+0,85y=0{,}01\cdot 1{,}5^x+0{,}85 (⁣G=R0+×R0+\mathbb{G} =\mathbb{R_0^+}\times\mathbb{R_0^+}) beschreiben.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Bei Paul wurde für die Geschwindigkeiten von 10kmh10 \dfrac{\text{km}}{\text{h}} und 12kmh12\dfrac{\text{km}}{\text{h}} jeweils eine Messung der Laktat-Konzentration durchgeführt.

      Berechnen Sie mithilfe der Funktion ff die zugehörigen Funktionswerte für diese beiden Geschwindigkeiten und ermitteln Sie sodann, um wie viel Prozent sich die Laktat-Konzentration zwischen diesen beiden Messungen erhöht hat. (3 P)

    2. Berechnen Sie die nach yy aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu ff. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe A2

    Punkte Bn(x0,5x4)B_n(x|0{,}5x-4) und Punkte CnC_n liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung

    y=0,5x4y=0{,}5x-4 (⁣G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Sie sind für x>4,25x\gt-4{,}25 zusammen mit dem Punkt A(00)A(0|0) und Punkten DnD_n Eckpunkte von Trapezen ABnCnDnAB_nC_nD_n.

    Es gilt: BnADn=45°;ADn=12ABn;\sphericalangle B_nAD_n=45°; \overline{AD_n}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB_n}; [ABnAB_n] \Vert [DnCnD_nC_n].

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Im Koordinatensystem sind die Gerade gg und das Trapez AB1C1D1AB_1C_1D_1 für x=3x=-3 bereits eingezeichnet.

      Zeichnen Sie das Trapez AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=2x=2 ein. (1 P)

      Bild
    2. Im Trapez AB3C3D3AB_3C_3D_3 gilt: C3B3A=90°\sphericalangle C_3B_3A=90°.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert von xx. (3 P)


    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von x x gilt: Dn(0,18x+1,410,53x1,41)D_n(0{,}18x+1{,}41|0{,}53x-1{,}41) . (3 P)

    4. Berechnen Sie die Gleichung des Trägergraphen tt der Punkte DnD_n und zeichnen Sie diesen in das Koordinatensystem zu 2a) ein. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe A3

    Gegeben ist ein Schrägbild des Würfels ABCDEFGHABCDEFGH mit AB=4  cm\overline{AB}=4\;\text{cm}.

    PP ist der Mittelpunkt der Strecke [AD][AD], QQ ist der Mittelpunkt der Strecke [AC][AC] und RR ist der Mittelpunkt der Strecke [EG][EG].

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Würfel
    1. Punkte Sn[QR]S_n\in [QR] legen zusammen mit PP und QQ Winkel QPSnQPS_n mit dem Maß φ\varphi fest.

      Sie sind für φ[0;63,43[\varphi\in[0^\circ;63{,}43^\circ[ die Spitzen von Pyramiden EFGHSnEFGHS_n mit der Grundfläche EFGHEFGH.

      Zeichnen Sie die Strecke [PS1][PS_1] und die Pyramide EFGHS1EFGHS_1 für φ=30\varphi=30^\circ in die Zeichnung zu 3 ein. (1 P)

    2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VVder Pyramiden EFGHSnEFGHS_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=(21,3310,67tanφ)  cm3V(\varphi)=(21{,}33-10{,}67\cdot\tan\varphi)\;\text{cm}^3. (3 P)

    3. Unter den Pyramiden EFGHSnEFGHS_n hat die Pyramide EFGHS0EFGHS_0 das maximale Volumen V0V_0.

      Begründen Sie, weshalb gilt: VWu¨rfel:V0=3:1V_{\text{Würfel}}:V_0=3:1 (2 P)


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