Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A3

Gegeben ist ein Schrägbild des Würfels $A B C D E F G H$ mit $A B = 4 cm$ .

$P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A D]$ , $Q$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A C]$ und $R$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[E G]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Punkte $S_{n} \in [Q R]$ legen zusammen mit $P$ und $Q$ Winkel $Q P S_{n}$ mit dem Maß $φ$ fest.
Sie sind für $φ \in [0^{\circ}; {63,43}^{\circ} [$ die Spitzen von Pyramiden $E F G H S_{n}$ mit der Grundfläche $E F G H$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[P S_{1}]$ und die Pyramide $E F G H S_{1}$ für $φ = 30^{\circ}$ in die Zeichnung zu 3 ein. (1 P)

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Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $E F G H S_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = (21,33 - 10,67 \cdot \tan φ) {cm}^{3}$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Volumen einer Pyramide: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$G = {A B}^{2} = (4 cm)^{2} = 16 {cm}^{2}$
$h = R Q - S Q$
$\tan φ = \frac{S Q}{P Q} \Rightarrow S Q = P Q \cdot \tan φ$
$h = R Q - P Q \cdot \tan φ$
Mit $R Q = 4 cm$ und $P Q = 2 cm$ folgt:
$h = 4 cm - 2 cm \cdot \tan φ$
$\Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot 16 {cm}^{2} \cdot (4 cm - 2 cm \cdot \tan φ)$
$V = 21,33 {cm}^{3} - 10,67 {cm}^{3} \cdot \tan φ = (21,33 - 10,67 \cdot \tan φ) {cm}^{3}$
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Unter den Pyramiden $E F G H S_{n}$ hat die Pyramide $E F G H S_{0}$ das maximale Volumen $V_{0}$ .
Begründen Sie, weshalb gilt: $V_{Würfel} : V_{0} = 3 : 1$ (2 P)

Die Pyramide hat dann ein maximales Volumen, wenn das Produkt $G \cdot h$ maximal ist.
Da $G$ konstant ist, muss also $h$ maximiert werden.
$h$ kann aufgrund der Seitenlänge des Würfels maximal $4 cm$ lang sein.
$V_{0} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V_{0} = \frac{1}{3} \cdot 16 {cm}^{2} \cdot 4 cm = \frac{1}{3} \cdot 64 {cm}^{3}$
Das Volumen des Würfels ist: $V_{Würfel} = {A C}^{3} = 4^{3} {cm}^{3} = 64 {cm}^{3}$
$\frac{V_{Würfel}}{V_{0}} = \frac{64 {cm}^{3}}{\frac{1}{3} \cdot 64 {cm}^{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{1}$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe A3

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