Volumen einer Pyramide: $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

$G=\overline{AB}^2=(4\;\text{cm})^2=16\;\text{cm}^2$

$h=\overline{RQ}-\overline{SQ}$

$\tan\varphi=\dfrac{\overline{SQ}}{\overline{PQ}}\Rightarrow\overline{SQ}=\overline{PQ}\cdot \tan\varphi$

$h=\overline{RQ}-\overline{PQ}\cdot\tan\varphi$

Mit $\overline{RQ}= 4\;\text{cm}$ und $\overline{PQ}=2 \;\text{cm}$ folgt:

$h=4\;\text{cm}-2\;\text{cm}\cdot \tan\varphi$

$\Rightarrow\;V=\dfrac{1}{3}\cdot 16\;\text{cm}^2 \cdot (4\;\text{cm}-2\;\text{cm}\cdot \tan\varphi)$

$V=21{,}33\;\text{cm}^3 -10{,}67\;\text{cm}^3\cdot \tan\varphi=(21{,}33-10{,}67\cdot \tan\varphi)\;\text{cm}^3$

Die Pyramide hat dann ein maximales Volumen, wenn das Produkt $G\cdot h$ maximal ist.

Da $G$ konstant ist, muss also $h$ maximiert werden.

$h$ kann aufgrund der Seitenlänge des Würfels maximal $4\;\text{cm}$ lang sein.

$V_0=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

$V_0=\dfrac{1}{3}\cdot16\;\text{cm}^2\cdot4\;\text{cm}=\dfrac{1}{3}\cdot64\;\text{cm}^3$

Das Volumen des Würfels ist: $V_{\text{Würfel}}=\overline{AC}^3=4^3\;\text{cm}^3=64\;\text{cm}^3$

$\dfrac{V_{\text{Würfel}}}{V_0}=\dfrac{64\text{cm}^3}{\frac{1}{3}\cdot64\text{cm}^3}=\dfrac{1}{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{1}$