Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A1

Informationen über die Leistungsfähigkeit eines Sportlers kann man mithilfe von sogenannten Laktat-Tests ermitteln, da die Laktat-Konzentration im Blut mit steigender Laufgeschwindigkeit zunimmt.

Bei einem solchen Test wird die Laktat-Konzentration $y \frac{mmol}{l}$ (Millimol pro Liter Blut) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $x \frac{km}{h}$ erfasst.

Für Paul lässt sich dieser Zusammenhang bei einem Test näherungsweise durch die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 0,01 \cdot {1,5}^{x} + 0,85$ (⁣ $𝔾 = ℝ_{𝟘}^{+} \times ℝ_{𝟘}^{+}$ ) beschreiben.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bei Paul wurde für die Geschwindigkeiten von $10 \frac{km}{h}$ und $12 \frac{km}{h}$ jeweils eine Messung der Laktat-Konzentration durchgeführt.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion $f$ die zugehörigen Funktionswerte für diese beiden Geschwindigkeiten und ermitteln Sie sodann, um wie viel Prozent sich die Laktat-Konzentration zwischen diesen beiden Messungen erhöht hat. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Einsetzen der Geschwindigkeiten in die Funktionsgleichung:
$y = 0,01 \cdot {1,5}^{10} + 0,85 = 1,43$
$y = 0,01 \cdot {1,5}^{12} + 0,85 = 2,15$
Berechnung des prozentualen Anstiegs der Laktat-Konzentration:
$p = \frac{2,15}{1,43} \cdot 100 % \approx 150,35 %$
Die Konzentration hat sich also zwischen den Messungen um ungefähr $50,35 %$ erhöht.
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Berechnen Sie die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Prüfung: Definitions- und Wertemenge können getauscht werden. Es gibt zu jedem Ausgangswert aus der Definitionsmenge genau einen Zielwert in der Wertemenge.
$y = 0,01 \cdot {1,5}^{x} + 0,85$
Tausch der Variablen x mit y:
$x = 0,01 \cdot {1,5}^{y} + 0,85$
Nach $y$ Auflösen:
$x$ $=$ $0,01 \cdot {1,5}^{y} + 0,85$ $- 0,85$
$x - 0,85$ $=$ $0,01 \cdot {1,5}^{y}$ $\cdot 100$
$100 x - 85$ $=$ ${1,5}^{y}$ $\log_{1,5}$
$\log_{1,5} (100 x - 85)$ $=$ $y$ $Seiten tauschen$
$y$ $=$ $\log_{1,5} (100 x - 85)$
Die Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert.
Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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$x$ und $y$ vertauschen und nach $y$ auflösen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$0,01 \cdot {1,5}^{y} + 0,85$	$- 0,85$
$x - 0,85$	$=$	$0,01 \cdot {1,5}^{y}$	$\cdot 100$
$100 x - 85$	$=$	${1,5}^{y}$	$\log_{1,5}$
$\log_{1,5} (100 x - 85)$	$=$	$y$	$Seiten tauschen$
$y$	$=$	$\log_{1,5} (100 x - 85)$

Aufgabe A1

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