Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A1

Informationen über die Leistungsfähigkeit eines Sportlers kann man mithilfe von sogenannten Laktat-Tests ermitteln, da die Laktat-Konzentration im Blut mit steigender Laufgeschwindigkeit zunimmt.

Bei einem solchen Test wird die Laktat-Konzentration $y\dfrac{\text{mmol}}{\text{l}}$ (Millimol pro Liter Blut) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $x \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ erfasst.

Für Paul lässt sich dieser Zusammenhang bei einem Test näherungsweise durch die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=0{,}01\cdot 1{,}5^x+0{,}85$ (⁣ $\mathbb{G} =\mathbb{R_0^+}\times\mathbb{R_0^+}$ ) beschreiben.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bei Paul wurde für die Geschwindigkeiten von $10 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und $12\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ jeweils eine Messung der Laktat-Konzentration durchgeführt.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion $f$ die zugehörigen Funktionswerte für diese beiden Geschwindigkeiten und ermitteln Sie sodann, um wie viel Prozent sich die Laktat-Konzentration zwischen diesen beiden Messungen erhöht hat. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Einsetzen der Geschwindigkeiten in die Funktionsgleichung:
$y=0{,}01\cdot1{,}5^{10}+0{,}85\ =\ 1{,}43$
$y=0{,}01\cdot1{,}5^{12}+0{,}85\ =\ 2{,}15$
Berechnung des prozentualen Anstiegs der Laktat-Konzentration:
Die Konzentration hat sich also zwischen den Messungen um ungefähr $50{,}35\;\%$ erhöht.
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Berechnen Sie die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f$ . (2 P)

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}01\cdot1{,}5^y+0{,}85$	$\displaystyle -0{,}85$
$\displaystyle x-0{,}85$	$=$	$\displaystyle 0{,}01\cdot 1{,}5^y$	$\displaystyle \cdot 100$
$\displaystyle 100x-85$	$=$	$\displaystyle 1{,}5^y$	$\displaystyle \log_{1{,}5}$
$\displaystyle \log_{1{,}5}(100x-85)$	$=$	$\displaystyle y$	$\displaystyle \text{Seiten tauschen}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}5}(100x-85)$

Aufgabe A1

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