11Zusammenfassung

Wir haben verschiedene Methoden kennengelernt, die man zum Wichteln mit $n$ Teilnehmern benutzen kann.

Zum einen gibt es die klassische Wichtel-Methode. Dabei werden Zettel mit Namen aus einem Hut gezogen und so eine geheime Zuordnung von Wichteln (Schenkenden) zu Co-Wichteln (Beschenkten) erstellt. Mathematisch kann man eine solche Zuordnung als eine Permutation auf $\left\{1,\ldots,n\right\}$ auffassen. Der Nachteil dieser Methode ist, dass die durch das Ziehen der Zettel erzeugte Permutation möglicherweise nicht fixpunktfrei ist, also Personen ihren eigenen Namen ziehen können. Dann muss man die Ziehung wiederholen. Im Schnitt braucht man etwa drei Versuche.

Deshalb haben wir versucht, eine Methode zu finden, bei der man garantiert mit einer Ziehung auskommt. Unser erster Ansatz war die Briefumschlag-Methode. Dabei wählen wir statt aus allen Permutationen nur aus den fixpunktfreien Permutationen. Um die Zuordnung geheim zu halten, war es nötig, für jede fixpunktfreie Permutation einen Umschlag mit $n$ Karten zu erstellen, von denen einer ausgelost wird. Da aber die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen mit steigender Teilnehmerzahl sehr schnell wächst, ist diese Methode nicht praktikabel - bei zehn Teilnehmern müsste man über eine Million Umschläge vorbereiten!

Eine andere Methode musste her. Dafür haben wir das Problem aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und uns zuerst unsere Anforderungen an eine Wichtel-Methode vergegenwärtigt: Für jede Person soll, unter der Annahme, dass sie ihren Co-Wichtel kennt, die Wahrscheinlichkeit, von einem ihrer Mitspieler beschenkt zu werden, für jeden Mitspieler gleich groß sein. Bei der Briefumschlag-Methode haben wir das Problem durch schiere Masse erschlagen.

Die Konjugations-Methode dagegen startet mit einer festen fixpunktfreien Permutation und macht diese „zufälliger“, indem die Zuordnung von Teilnehmern zu den Zahlen $\left\{1,\ldots,n\right\}$ durchmischt wird. Wir haben uns diese Methode für zwei fixpunktfreie Permutationen $\sigma$ und $\varphi$ angeschaut. Je nachdem, von welcher Permutation man ausgeht, ist jedoch die Wahrscheinlichkeit, vom eigenen Co-Wichtel beschenkt zu werden, entweder zu hoch oder zu niedrig.

Um den Wert $\frac{1}{n-1}$ zu erreichen, muss man die beiden Permutationen kombinieren und mit der passenden Wahrscheinlichkeit entweder $\sigma$ oder $\varphi$ beim Wichteln mit der Konjugations-Methode verwenden. Die Methode, die das garantiert, haben wir die verbesserte Konjugations-Methode genannt. Sie kombiniert die Konjugations- mit der Briefumschlag-Methode und ist unser bester Kandidat für eine Wichtel-Methode, bei der garantiert nur einmal gezogen werden muss:

1. Wir präparieren $n$ Briefumschläge mit der Konjugations-Methode mit $\sigma$ und $n-2$ Briefumschläge mit der Konjugations-Methode mit $\varphi$.

2. Wir werfen alle Umschläge in einen Hut (oder Ähnliches), mischen und ziehen einen Umschlag.

3. Die Karten dieses Umschlags werden nun wie bei der Briefumschlag-Methode ausgeteilt und verwendet.

Man braucht also bei $n$ Mitspielern nur $2n-2$ Umschläge. Diese Menge ist gut zu bewältigen, wenn man die Arbeit auf die Teilnehmer aufteilt und jeden zwei Umschläge (einen mit $\sigma$ und einen mit $\varphi$) vorbereiten lässt.

Wer hätte gedacht, dass mit etwas so Alltäglichem so viel interessante Mathematik treiben kann. Und wer würde jetzt noch behaupten, dass Mathematik nicht lebensnah ist!