Gemischte Aufgaben zum Rechnen mit Brüchen

Während des Sportunterrichts läuft Jan $3\frac{1}{2}$ km in 15min und Tim $5{,}25$ km in 21min. Wer ist schneller? Begründe deine Antwort

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division von Brüchen

Jan läuft $3\frac{1}{2}$ km in 15min, also:

	$\displaystyle 3\frac{1}{2}km\ :\ 15\min$
$=$	$\displaystyle 3\frac{1}{2}:15\ \frac{km}{\min}$
$=$	$\displaystyle \frac{7}{2}:15\ \frac{km}{\min}$
$=$	$\displaystyle \frac{7}{2\cdot15}\ \frac{km}{\min}$
$=$	$\displaystyle \frac{7}{30}\ \frac{km}{\min}$

Tim läuft $5{,}25$ km in 21min.

	$\displaystyle 5{,}25km\ :\ 21\min$
$=$	$\displaystyle 5{,}25:21\ \frac{km}{\min}$
	↓ Schreibe um in einen unechten Bruch.
$=$	$\displaystyle \frac{21}{4}:21\ \frac{km}{\min}$
	↓ Schreibe in den Nenner.
$=$	$\displaystyle \frac{21}{4\cdot21}\ \frac{km}{\min}$
	↓ Kürze mit 21.
$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\ \frac{km}{\min}$

Nun muss man die beiden Werte noch miteinander vergleichen. Dazu bringt man sie am besten auf einen gemeinsamen Nenner (hier:60):

	$\displaystyle \frac{7}{30}\ \frac{km}{\min}$
	↓ Erweitere mit 2.
$=$	$\displaystyle \frac{7\cdot2}{30\cdot2}\ \frac{km}{\min}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{14}{60}\ \frac{km}{\min}$

	$\displaystyle \frac{1}{4}\ \frac{km}{\min}$
	↓ Erweitere mit 15.
$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot15}{4\cdot15}\ \frac{km}{\min}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{15}{60}\ \frac{km}{\min}$

Da $\displaystyle\frac{14}{60}\ \frac{\text{km}}{\min}<\frac{15}{60}\ \frac{\text{km}}{\min}$ ist Tim also schneller als Jan.

Alternative Lösung:

Da sowohl 15 als auch 21 durch 3 teilbar sind, kann man auch einfach ausrechnen, wie viel Jan bzw. Tim in drei Minuten zurücklegen.

Jan läuft $3\frac{1}{2}km$ in 15min. In $3\min=\frac{1}{5}\cdot15\min$ läuft er also auch $\frac{1}{5}$ der Strecke, nämlich:

	$\displaystyle \frac{1}{5}\cdot3\frac{1}{2}\ km$
	↓ Schreibe als unechten Bruch.
$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\frac{7}{2}\ km$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot7}{5\cdot2}\ km$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{7}{10}\ km$
	↓ Schreibe als Dezimalbruch
$=$	$\displaystyle 0{,}7\ km$
	↓ Rechne km um in m.
$=$	$\displaystyle 700m$

Tim läuft $5{,}25km$ in 21min. In $3\min=\frac{1}{7}\cdot21\min$ läuft er also auch $\frac{1}{7}$ der Strecke, nämlich:

	$\displaystyle \frac{1}{7}\cdot5{,}25\ km$
	↓ Wandle um in einen unechten Bruch.
$=$	$\displaystyle \frac{1}{7}\cdot\frac{21}{4}km$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot21}{7\cdot4}\ km$
	↓ Kürze mit 7.
$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot3}{1\cdot4}\ km$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\ km$
	↓ Schreibe als Dezimalbruch. Erweitere dazu zunächst auf 100.
$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot25}{4\cdot25}\ km$
$=$	$\displaystyle \frac{75}{100}\ km$
	↓ Schreibe als Dezimalbruch
$=$	$\displaystyle 0{,}75\ km$
	↓ Rechne km um in m.
$=$	$\displaystyle 750m$

Du siehst also: Tim läuft im gleichen Zeitraum weiter als Jan. Er ist also schneller.

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