Sachaufgaben zum Thema Länge

Vertiefe dein Wissen und über hier mit gemischten Sachaufgaben alles rund um Längen und Längeneinheiten!

1
Ein Augentierchen hat die Länge $2\cdot0{,}1^5~\text{m}$ . Wie viele Augentierchen müssen sich nebeneinander aufstellen, damit sich eine Kette der Länge $8~\text{cm}$ ergibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Augentierchen $2\cdot0{,}1^5m=0{,}0002m\widehat=0{,}02\mathrm{cm}$
Länge der Kette $8\mathrm{cm}$
Ausrechnen wieviel Tiere nötig wären um eine Kette dieser Länge zu erzeugen, indem man die Kettenlänge durch die Länge eines Tiers dividiert .
$8\mathrm{cm}:0{,}02\mathrm{cm}=4000$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Man bräuchte 4000 Tiere um eine solche Kette zu erzeugen.
Teile die Länge der Kette $8~\text{cm}$ durch die Länge des Tierchens.
2
Ein Virus hat die Länge $4\cdot0{,}1^7~\text{m}$ . Wie viele Viren müssen sich nebeneinander aufstellen, damit sich eine Kette der Länge $8~\text{mm}$ ergibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Viruslänge in mm: $4\cdot0{,}1^7m=0{,}0004\mathrm{mm}$
Länge der Kette: $8\mathrm{mm}$
Jetzt kannst du die Länge der Kette durch Viruslänge dividieren, um die Zahl der Viren auszurechnen, die für so eine Kette nötig wären.
$8\mathrm{mm}:0{,}0004\mathrm{mm}=20000$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Es werden $20000$ Viren benötigt, um eine Kette von $8\mathrm{mm}$ zu bilden.
Die Länge der Kette $8~\text{mm}$ muss durch die Länge des Virus geteilt werden.
3
Sebastian und Joachim machen in den Ferien eine 5-tägige Fahrradtour. Auf der Karte haben sie eine Strecke von 292 km errechnet. Am ersten Tag fahren sie 78 km. Am zweiten Tag fahren sie 14 km weniger als am ersten Tag. Am dritten Tag legen sie eine Pause ein und fahren am vierten Tag dafür 9 km mehr als am zweiten Tag. Wie lange war die Heimfahrt am fünften Tag?
km

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion
Gesucht ist die Strecke, die sie am letzten, dem 5. Tag, ihrer Radtour zurücklegen.
Du weißt, dass sie insgesamt 292 km gefahren sind.
Schau dir erstmal an, wie viel Kilometer sie an den einzelnen Tagen fahren:
1. Tag: $78 \mathrm{km}$
Wieviel sie am ersten Tag gefahren sind, steht direkt im Text.
2. Tag: $78 \mathrm{km} - 14 \mathrm{km}=64\mathrm{km}$
Am 2. Tag fahren sie 14 km weniger als am 1. Tag.
3. Tag: $0 \mathrm{km}$
Am 3. Tag machen sie eine Pause.
4. Tag: $64\mathrm{km}+9\mathrm{km}=73\mathrm{km}$
Am 4. Tag schaffen sie 9 km mehr als am 2. Tag.
Rechne die Strecke der ersten 4 Tage zusammen:
$78\mathrm{km}+64\mathrm{km}+73\mathrm{km}=215$
Ziehe dieses Ergebnis von der gesamten Strecke ab:
$292\mathrm{km}-215 \mathrm{km}=77 \mathrm{km}$
Antwort: Am letzten Tag fahren die beiden 77 km.
Berechne, wie viele km die beiden in den 5 Tagen gefahren sind. Dieser Betrag muss von den 292 km abgezogen werden.

Eine Jugendgruppe möchte eine viertägige Wanderung unternehmen. Die geplante Strecke beträgt insgesamt $190\ km$ . Um eine gleichmäßige Leistungssteigerung zu erreichen, vereinbaren die Teilnehmer, jeden Tag $9\ km$ mehr als am Vortag zurückzulegen.

Wie viele Kilometer wandert die Jugendgruppe an jedem einzelnen Tag?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlen und Größen

$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+\left(x+9\right)+\left(\left(x+9\right)+9\right)+\left(\left(\left(x+9\right)+9\right)+9\right)$
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+\left(x+9\right)+\left(x+18\right)+\left(x+27\right)$
	↓	Definiere: $\sf f\left(x\right)=x+\left(x+9\right)+\left(x+18\right)+\left(x+27\right)f(x)=x+(x+9)+(x+18)+(x+27)$
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+x+9+x+18+x+27$
	↓	Sortiere
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+x+x+x+9+18+27$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle 4x+54$	$\displaystyle -54$
$\displaystyle 136$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 34$	$=$	$\displaystyle x$

Tag 1

Die Strecke des ersten Tages entspricht $x$ Kilometern.

$x=34$

Tag 2

Die Strecke des zweiten Tages entspricht $x+9$ Kilometern.

Am zweiten Tag legt die Jugendgruppe laut Aufgabenstellung neun Kilometer mehr zurück als am ersten Tag.

$x+9=43$

Tag 3

Die Strecke des dritten Tages entspricht $x+18$ Kilometern.

Am dritten Tag legt die Gruppe wiederum weiter neun Kilometer mehr zurück als am Tag zuvor, dem zweiten Tag. Also insgesamt $18$ Kilometer mehr als am ersten Tag.

$x+18=52$

Tag 4

Die Strecke des vierten Tages entspricht $x+27$ Kilometern.

Am letzten Tag ihrer Wanderung legt die Gruppe nun $27$ Kilometer mehr zurück als am ersten Tag ihrer Reise.

$x+27=61$

Zusammenfassung

Erste Möglichkeit:

Wird die Summe aus den zurückgelegten Strecken, der einzelnen Tage gebildet, so erhältst du als Ergebnis die gegebenen $190$ Kilometer.

$34+43+52+61=190$

Zweite Möglichkeit:

Alternativ kannst du auch $\sf x$ in die zu Beginn definierte Funktion $\sf ff$ einsetzen, um zu überprüfen, ob du durch die Ergebnisse deiner Rechnung auf $\sf 190$ Kilometer kommst.

$f(34)=34+(34+9)+(34+18)+(34+27)=190$

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Welche Strecken ergeben sich für die einzelnen Tage bei einer viertägigen Wanderung und einer täglichen Steigerung von etwa $3\ km$ ?

Die Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und der Zwergplanet Pluto umkreisen unsere Sonne. In folgender Tabelle sind die Durchmesser der Sonne und der Planeten zusammengefasst:

Planeten (und ein Stern)	Durchmesser in km
Sonne	1.388.224
Merkur	4878
Venus	12099
Erde	12736
Mars	6763
Jupiter	142643
Saturn	119973
Uranus	51199
Neptun	49670
Pluto	2165

In einem Modell unseres Sonnensystems soll die Größe der Planeten maßstabsgetreu dargestellt werden. In diesem Modell soll der Durchmesser der Erde $2\ cm$ betragen.

Wie groß sind in diesem Modell die anderen Planeten?

Planeten (und ein Stern)	Durchmesser in $km$	Durchmesser im Modell
Sonne	$1.388.224$	$2\ m\ 18\ cm$
Merkur	$4.878$	$8\ mm$
Venus	$12.099$	$1\ cm\ 9\ mm$
Erde	$12.736$	$2\ cm$
Mars	$6.763$	$1\ cm\ 1\ mm$
Jupiter	$142.643$	$22\ cm\ 4\ mm$
Saturn	$119.973$	$18\ cm\ 8\ mm$
Uranus	$51.199$	$8\ cm$
Neptun	$49.670$	$7\ cm\ 8\ mm$
Pluto	$2.165$	$3\ mm$

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Die Erde wird vom Mond umkreist. Der Durchmesser des Erdmondes beträgt $3477\ km$ . Wie groß ist dieser im Modell?
Gib das Ergebnis in $\text{mm}$ an und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
mm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Längeneinheiten
Berechnung des Umrechnungsfaktors
$\displaystyle 12736~\text{km}:2~\text{cm}$
$=$ $\displaystyle 6368~\dfrac{\text{km}}{\text{cm}}$
Das bedeutet, dass ein $\text{cm}$ im Modell $6368~\text{km}$ in der Realität entsprechen.
Mond im Modell
$\displaystyle 3477~\text{km}:6368~\dfrac{\text{km}}{\text{cm}}$
$≈$ $\displaystyle 0{,}546~\text{cm}$
Das sind etwa $5{,}46~\text{mm}$ im Modell.
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Berechne den Umrechnungsfaktor, indem du den Durchmesser der Erde durch 2 teilst.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+\left(x+3\right)+\left(\left(x+3\right)+3\right)+\left(\left(\left(x+3\right)+3\right)+3\right)$
	↓	Da Der Term nur aus Additionen besteht, dürfen die Klammern alle weggelassen werden ( Assoziativgesetz ).
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle x+x+3+x+3+3+x+3+3+3$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
$\displaystyle 190$	$=$	$\displaystyle 4x+18$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle 172$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 43$	$=$	$\displaystyle x$

	$\displaystyle 12736~\text{km}:2~\text{cm}$
$=$	$\displaystyle 6368~\dfrac{\text{km}}{\text{cm}}$

	$\displaystyle 3477~\text{km}:6368~\dfrac{\text{km}}{\text{cm}}$
$≈$	$\displaystyle 0{,}546~\text{cm}$

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Berechnung des Umrechnungsfaktors

Mond im Modell

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