Aufgaben zu Geradengleichungen in der Ebene

Gegeben sind die beiden Punkte ${\mathrm{P}}_1(3\mathrm{\mid }4)\{\backslash mathrm\; P\}\_1(3|4)$  und  ${\mathrm{P}}_2(1\mathrm{\mid }1)\{\backslash mathrm\; P\}\_2(1|1)$.

Gesucht ist eine Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash overrightarrow\{p\_1\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash overrightarrow\{u\}$

mit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}\backslash overrightarrow\; u=\backslash overrightarrow\{p\_2\}-\backslash overrightarrow\{p\_1\}$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1-3\\ 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; u=\backslash begin\{pmatrix\}1-3\backslash \backslash 1-4\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$

Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$

Gegeben sind die beiden Punkte ${\mathrm{P}}_1(5\mathrm{\mid }2)\{\backslash mathrm\; P\}\_1(5|2)$  und  ${\mathrm{P}}_2(-1\mathrm{\mid }1)\{\backslash mathrm\; P\}\_2(-1|1)$ .

Gesucht ist eine Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash overrightarrow\{p\_1\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash overrightarrow\{u\}$

mit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}\backslash overrightarrow\; u=\backslash overrightarrow\{p\_2\}-\backslash overrightarrow\{p\_1\}$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1-5\\ 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-1-5\backslash \backslash 1-2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-6\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -1\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-6\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

Gegeben sind die beiden Punkte ${\mathrm{P}}_1(4\mathrm{\mid }0)\{\backslash mathrm\; P\}\_1(4|0)$  und  ${\mathrm{P}}_2(-2\mathrm{\mid }-6)\{\backslash mathrm\; P\}\_2(-2|-6)$ .

Gesucht ist eine Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash overrightarrow\{p\_1\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash overrightarrow\{u\}$

mit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}\backslash overrightarrow\; u=\backslash overrightarrow\{p\_2\}-\backslash overrightarrow\{p\_1\}$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2-4\\ -6-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-2-4\backslash \backslash -6-0\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-6\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}$

Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-6\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}$

Gegeben sind die beiden Punkte ${\mathrm{P}}_1(-3\mathrm{\mid }2)\{\backslash mathrm\; P\}\_1(-3|2)$  und  ${\mathrm{P}}_2(-2\mathrm{\mid }6)\{\backslash mathrm\; P\}\_2(-2|6)$.

Gesucht ist eine Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash overrightarrow\{p\_1\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash overrightarrow\{u\}$

mit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}\backslash overrightarrow\; u=\backslash overrightarrow\{p\_2\}-\backslash overrightarrow\{p\_1\}$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2-(-3)\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-2-(-3)\backslash \backslash 6-2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Gegeben sind die beiden Punkte ${\mathrm{P}}_1(0\mathrm{\mid }-4)\{\backslash mathrm\; P\}\_1(0|-4)$  und  ${\mathrm{P}}_2(13\mathrm{\mid }2)\{\backslash mathrm\; P\}\_2(13|2)$.

Gesucht ist eine Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash overrightarrow\{p\_1\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash overrightarrow\{u\}$

mit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}\backslash overrightarrow\; u=\backslash overrightarrow\{p\_2\}-\backslash overrightarrow\{p\_1\}$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}13-0\\ 2-(-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ 6\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; u=\backslash begin\{pmatrix\}13-0\backslash \backslash 2-(-4)\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}13\backslash \backslash 6\backslash end\{pmatrix\}$

Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}13\\ 6\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash ;\backslash overrightarrow\; x=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}13\backslash \backslash 6\backslash end\{pmatrix\}$

Lösung mit der Zwei-Punkte-Formel:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_{1}y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1$

Die Normalform der Geradengleichung lautet: $y={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot xy=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; x$

Umwandlung in Koordinatenform:

Eine Koordinatenform für die Geradengleichung lautet:

$-4x+3y=0-4x+3y=0$ oder $4x-3y=04x-3y=0$

Lösung mit der Zwei-Punkte-Formel:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_{1}y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1$

Die Normalform der Geradengleichung lautet: $y=-{\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot x+{\displaystyle \frac{22}{7}}y=-\backslash dfrac\{3\; \}\{7\; \}\backslash cdot\; x\; +\backslash dfrac\{22\}\{7\}$

Umwandlung in Koordinatenform:

Eine Koordinatenform für die Geradengleichung lautet:

$3x+7y=223x+7y=22$

Lösung mit der Zwei-Punkte-Formel:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_{1}y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1$

Die Normalform der Geradengleichung lautet: $y={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x-1y=\backslash dfrac\{1\; \}\{5\; \}\backslash cdot\; x\; -1$

Umwandlung in Koordinatenform:

Eine Koordinatenform für die Geradengleichung lautet:

$-x+5y=-5-x+5y=-5$ oder $x-5y=5x-5y=5$

Beide Punkte haben die gleiche x-Koordinate $x=3x=3$, d.h. sie liegen auf der Geraden $x=3x=3$.

Das ist auch die Koordinatenform der Geradengleichung.

Beide Punkte haben die gleiche x-Koordinate $x=3x=3$, d.h. sie liegen auf der Geraden $x=3x=3$.

Das ist auch die Koordinatenform der Geradengleichung.