Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 63750\qquad N_0=85000\qquad t\ =\ 19\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}63750=85000\cdot(1-p)^{19}$

$\hspace{4cm}\dfrac{63750}{85000}=(1-p)^{19}$

$\hspace{4cm}(1-p)^{19}=\dfrac{63750}{85000}$

$\hspace{4cm}(1-p)=\sqrt[\scriptsize{19}]{\dfrac{63750}{85000}}$

$\hspace{3cm}1-p=0{,}985\quad\Rightarrow\quad -p=0{,}985-1$

$\hspace{50mm}p=0{,}015$

Die durchschnittliche Abnahme pro Jahr beträgt $\ \approx 1{,}5\%$

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_t\ =\ 85000\qquad p\ =\ 2{,}9\%\qquad N_0\ =\ 678000\qquad$setzte die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}85000=67800\cdot(1+0{,}029)^t$

$\hspace{4.5cm}\dfrac{85000}{67800}=(1{,}029)^t\qquad\Rightarrow\qquad (1{,}029)^t=1{,}254$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{4.5cm}\log_{1{,}029}(1{,}254)\ =\ t$

$\hspace{4.5cm}t\ =\ \dfrac{lg1{,}254}{lg1{,}029}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{0{,}0983}{0{,}0124}\ \Rightarrow\ t\ =\ 7{,}9$

Nach ungefähr $8$ Jahren hätte der Verein wieder den Mitgliederstand vom $1$. Januar $1998$ erreicht.

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4cm}N_{t}=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_0\ =\ 678000\qquad p\ =\ 3{,}3\%\qquad t\ =\ 11\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot(1+0{,}033)^{11}$

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot1{,}033^{11}$

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot1{,}429$

$\hspace{4cm}N_{11}=96902{,}109$

Die voraussichtliche Mitgliederzahl am $1$. Januar $2030$: $\quad N_{11}\approx 96902$