Aufgabengruppe II

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_1$ mit der

x-Achse.

Setze$\ g_1=0\$ und berechne$\ x$.

$-0{,}5x+3=0$

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\ g_1\$mit der $x-$Achse sind dann:

$\ N(6|0)$

Berechne $x$ und $y$ indem Du die entsprechenden Werte in die Funktionsgleichung einsetzt.

Berechne y:

$\ -0{,}5x+3=y\quad\Rightarrow\quad-0{,}5\cdot5+3=y\quad\Rightarrow\quad y=-2{,}5+3\hspace{1.8mm}\Rightarrow\hspace{1mm} y=0{,}5$

Berechne x:

$\ -0{,}5x+3=y\quad\Rightarrow\quad-0{,}5x+3=21\quad\Rightarrow\quad -0{,}5x=18\quad\Rightarrow\quad x=-36$

Übertrage die Werte in die Wertetabelle.

$\text{\Large{Wertetabelle:}}$

$g_{1}:y=-0{,}5x+3\qquad\Rightarrow\qquad m_{1}=-0{,}5$

da die Gerade $g_{2}\$senkrecht auf der Geraden$\ g_{1}\$steht, gilt: $\\m_{1}\cdot\ m_{2}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{2}\ =\ \dfrac{-1}{m_{1}}=\dfrac{-1}{-0{,}5}\quad\Rightarrow\quad m_{2}=2$

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$

Setze $\ m_{2}\$und die Koordinaten des Punktes $B$ in die Gleichung ein.

$\ 0\ =\ 2\cdot (-2{,}5)\ +\ t_2\quad\Rightarrow\quad t_2\ =\ 5$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}\$lautet:

$\ g_{2}:y\ =\ 2x\ +\ 5$

Die Skizze ist nicht massgetreu.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Setze $C$ und $D$ in die Geradengleichung ein.

$(C):-1m\ +\ t\ =\ -1$

$(D):\ \ \ 4m\ +\ t\ =\ \ \ \ 1\quad\Rightarrow\quad\ t\ =\ 1-4m\$

Setze $m$ in$(D)$ ein und berechne $t$.

$t\ =\ 1-4\cdot\dfrac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad t\ =\ \dfrac{5}{5}-\dfrac{8}{5}=-\dfrac{3}{5}\quad\Rightarrow\quad t\ =\ -\dfrac{3}{5}$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_3\$ lautet:

$g_{3}:\ y\ =\ \dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{5}$

Berechnung des Schnittpunktes $T$.

Stelle die Geradengleichung $\ g_{4}\$nach $\ y\$um und setze $g_{1}=g{4}$.

$g_{4}: \ –0{,}5x = –5\ –\ y\qquad\Rightarrow\qquad y=0{,}5x-5$

Setze$\ g_{1}=g_{4}$

Setze $x=8\$in $g_1\$oder$\ g_4\$ein und berechne $y.$

$x$ eingesetzt in $g_1\$ergibt:

$\ -0{,}5\cdot8+3=y\quad\Rightarrow\quad y=-1$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$T(8|-1)$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Den $y$-Achsenabschnitt kannst Du aus der Skizze ablesen:$\ t=1$

Setze die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden$\ g_{5}\$mit der $x$-Achse in die Geradengleichung ein, und berechne die Steigung $m$.

$\ y=\ \ \ mx+t\\\ 0=-4m+1\ |+(4m)\\\ 4m=1\ |:(4)\qquad\Rightarrow\qquad m=\dfrac{1}{4}$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_5\$ lautet:

$g_{5}:y=\dfrac{1}{4}x+1$

Der Tangens im rechwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\quad\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\quad\tan(\alpha)=\dfrac{1}{4}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=14{,}04^{\circ}$

Der Winkel $\alpha\$beträgt:$\hspace{10mm}\alpha\approx14^{\circ}$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 63750\qquad N_0=85000\qquad t\ =\ 19\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}63750=85000\cdot(1-p)^{19}$

$\hspace{4cm}\dfrac{63750}{85000}=(1-p)^{19}$

$\hspace{4cm}(1-p)^{19}=\dfrac{63750}{85000}$

$\hspace{4cm}(1-p)=\sqrt[\scriptsize{19}]{\dfrac{63750}{85000}}$

$\hspace{3cm}1-p=0{,}985\quad\Rightarrow\quad -p=0{,}985-1$

$\hspace{50mm}p=0{,}015$

Die durchschnittliche Abnahme pro Jahr beträgt $\ \approx 1{,}5\%$

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_t\ =\ 85000\qquad p\ =\ 2{,}9\%\qquad N_0\ =\ 678000\qquad$setzte die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}85000=67800\cdot(1+0{,}029)^t$

$\hspace{4.5cm}\dfrac{85000}{67800}=(1{,}029)^t\qquad\Rightarrow\qquad (1{,}029)^t=1{,}254$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{4.5cm}\log_{1{,}029}(1{,}254)\ =\ t$

$\hspace{4.5cm}t\ =\ \dfrac{lg1{,}254}{lg1{,}029}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{0{,}0983}{0{,}0124}\ \Rightarrow\ t\ =\ 7{,}9$

Nach ungefähr $8$ Jahren hätte der Verein wieder den Mitgliederstand vom $1$. Januar $1998$ erreicht.

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4cm}N_{t}=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_0\ =\ 678000\qquad p\ =\ 3{,}3\%\qquad t\ =\ 11\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot(1+0{,}033)^{11}$

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot1{,}033^{11}$

$\hspace{4cm}N_{11}=678000\cdot1{,}429$

$\hspace{4cm}N_{11}=96902{,}109$

Die voraussichtliche Mitgliederzahl am $1$. Januar $2030$: $\quad N_{11}\approx 96902$

$\underline{\text{\large{Berechne:}}}$

$1.)\ \text{Länge\ der\ Strecke}\ [AE]\ \text{in\ dm}\\2.)\ \text{Länge\ der\ Strecke}\ [EF]\ \text{in\ dm}\\3.)\ \text{Länge\ der\ Strecke}\ [BD]\ \text{in\ dm}\\4.)\ \text{Flächeninhalt\ des\ Trapezes\ ABDE}\ \text{in\ dm}^2$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

$\text{zu\ 1.)}\ \sin60^{\circ}\ =\ \dfrac{\overline{{AE}}}{16\ dm}\quad\Rightarrow\quad\ \overline{AE}\ =\ \sin60^{\circ}\cdot16\ dm$

$\hspace{48mm}\underline{\overline{AE}\ \approx\ 13{,}9\ dm}$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

$\text{zu\ 2.)}\ \cos60^{\circ}\ =\ \dfrac{\overline{{EF}}}{16\ dm}\quad\Rightarrow\quad\ \overline{EF}\ =\ \cos60^{\circ}\cdot16\ dm$

$\hspace{48mm}\underline{\overline{EF}\ =\ 8\ dm}$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

$\text{zu\ 3.)}\ \overline{BD}^2\ =\ (\overline{EF}+\overline{DE})\cdot\overline{DC}\qquad \large{\text{\color{green}Höhensatz}}$

$\hspace{9mm}\overline{BD}\ =\ \sqrt{(8\ dm+22\ dm)\cdot\ 2\ dm}$

$\hspace{9mm}\underline{\overline{BD}\ \approx\ 7{,}7\ dm}$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

$\text{zu\ 4.)}\ A_\text{{ABDE}}\ =\ \dfrac{(\overline{AE}+\overline{BD})}{2}\cdot\overline{ED}\quad\Rightarrow\quad A_\text{{ABDE}}\ =\ \dfrac{(13{,}9\ dm+7{,}7\ dm)}{2}\cdot 22\ dm$

$\hspace{9mm}\underline{\underline{{A_{ABDE}}\ \approx\ 237{,}6\ dm ^2}}$

Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist.

$\underline{\text{Anwendung des Kathetensatzes auf die oben abgebildete Skizze}}$

$\overline{CB}^2\ = \overline{CF}\cdot\overline{CD}\qquad oder\qquad \overline{BF}^2\ = \overline{CF}\cdot\overline{DF}$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }A(-2|-3): &I &-3 &= &1\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c\\\text{Aus }B\ \ \ (2|5): &II &5 &= &1\cdot (2)^2+b\cdot(2)+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &-3 &= &4-2b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad c=\ \ \ 2b-7$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &5 &= &\ 4+2b+c\end{array}\hspace{9mm}\Rightarrow\quad c=-2b+1$

Setze$\ I\ =\ II$

Setze $2$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$.

$c\ =\ 4-7\ =\ -3$

$c\ =\ -3\$

jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_{\tiny1}:y\ =x^2+2x-3$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(2{,}5\left|-4\right.\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2-5x+2{,}25\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot 2{,}25}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-9}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 4{,}5$

$\hspace{41mm}x_{\tiny2}\ =\ 0{,}5$

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 3}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 3}(3|4)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 3}$ ein.

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -(x-3)^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -x^2+6x-5$

Setze den $x$ Wert des Punktes D in die Geradengleichung$\ g:y=x-3$ ein und berechne $y$.

$y=0-3\qquad\Rightarrow\qquad y=-3$

Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $\ (0|-3)$, also liegt $D$ nicht auf $g$.

Für die Spiegelung an der $x$-Achse muss der Funktionsterm mit $(-1)$ multipliziert werden.

$p_4:y=(x-2)^2-3=\quad\Rightarrow\quad p_5:y=-1[\cdot(x-2)^2-3]=-1\cdot(x-2)^2-1\cdot (-3)$

Scheitelpunktform von$\ p_5:\\p_5:y=-(x-2)^2+3$

$25x^6y^2+\square+36z^8=(\square+\square)^2$

Wende die $1$. Binomische Formel an:

$\hspace{10mm}a^2\ \ +\hspace{3mm}2ab\hspace{4mm}+\hspace{3mm}b^2\hspace{2mm}=\hspace{8mm}(a+b)^2$

$\quad25x^6y^2+\boxed{60x^3yz^4}+36z^8=\biggl(\boxed{5x^3y}+\boxed{6z^4}\biggr)^2$

(I)$\quad \dfrac{0{,}5\cdot (y^4)^{-2}\cdot 4y^3\cdot6y^6}{12y}$

$\text{\color{green}{ordne}}$

$\dfrac{0{,}5\cdot4\cdot6\cdot(y^4)^{-2}\cdot y^3\cdot y^6}{12y}$

$\text{\color{green}{kürze}}$

$\dfrac{\cancel{0{,}5}\cdot\cancel{4\ }\cdot\cancel{6\ }\cdot(y^4)^{-2}\cdot y^3\cdot y^6}{\cancel{12}y}$

$\text{\color{green}{fasse zusammen}}$

$\dfrac{y^{(-8+3+6)}}{y^1}$

$\text{\color{green}{vereinfache}}$

$\dfrac{y^{1}}{y^1}\ =\ y^{(1-1)}\ =\ y^{0}$

$\text{{Vereinfachter Term:}}\ \Rightarrow\ 1$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

(II)$\quad \dfrac{(y^{12})^{0{,}5}}{\sqrt[4]{y^{16}}}$

$\text{\color{green}{multipliziere im Zähler die Potenzen}}$

$(y^{12})^{0{,}5}\ =\ y^6$

$\text{\color{green}{schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz}}$

$\sqrt[4]{y^{16}}\ =\ y^{\small\frac{16}{4}}\ =\ y^{4}$

$\text{\color{green}{fasse zusammen und vereinfache}}$

$\dfrac{y^6}{y^4}\ =\ y^{(6-4)}\ =\ y^2$

$\text{{Vereinfachter Term:}}\ \Rightarrow\ y^2$

Ermittle den Streckungsfaktor $\ k$

Bekannt ist:$\quad$$\overline{BD}=4m;\quad \overline{B'C}=6m;\quad \overline{EZ}=1{,}2m;\quad \overline{BZ}=56m$

$\hspace{50mm}k=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$

$\overline{A'B'}=\overline{B'C}-\overline{A'C}=6\ m-1{,}2\ m\\\overline{A'B'}=4{,}8\ m$

$\ \overline{AB}=\overline{BD}-\overline{AD}=4\ m-1{,}2\ m\\\ \overline{AB}=2{,}8\ m$

$\hspace{38mm}k=\dfrac{4{,}8\ m}{2{,}8\ m} \quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{12}{7}\$oder$\ k\approx1{,}7$

Der Streckungsfaktor $\ k\$beträgt ungefähr $\ 1{,}7$.

Berechne die Länge der Strecke $[B'B]\ in\ m:$

$\dfrac{56+\overline{B'B}}{56}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{56+\overline{B'B}}{56}=\dfrac{4{,}8}{2{,}8}\quad\Rightarrow\quad\overline{B'B}=\dfrac{268{,}8-156{,}8}{2{,}8}$

$\hspace{76mm}\overline{B'B}=40\ m$

$\text{Oberflächeninhalt\ Kugel}\ =\ 4\cdot\pi \cdot r^2$

$\text{Oberflächeninhalt\ Halbkugel}\ =\ \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot\pi \cdot r^2\quad\Rightarrow\quad O_{HK}\ =\ \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot\pi\cdot(30\ cm)^2$

$\hspace{77mm}O_{HK}\ =\ 2 \cdot3{,}14\cdot900\ cm^2$

$\hspace{77mm}O_{HK}\ =\ 5652\ cm^2$

Die Oberfläche der unteren Halbkugel beträgt: $\ 5652\ cm^2$

$\text{Volumen \ {Kugel}}=\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3;\hspace{5mm}d=44\ cm\quad\Rightarrow\quad r\ =\ 22\ cm$

$\hspace{14mm}V_\text{Kugel}\ =\ \dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot (22\ cm)^3$

$\hspace{14mm}V_\text{Kugel}\ \approx44580\ cm^3$

Du kennst jetzt das Volumen der Kugel und die Dichte von Granit $\ (\rho=2{,}8\dfrac{g}{cm^3})\$mit dem Volumen und der Dichte kannst Du das Gewicht der Kugel berechnen.

$\hspace{14mm}G_\text{Kugel}\ \approx\ 2{,}8\dfrac{g}{\cancel{cm^3}}\cdot44580\ \cancel{cm^3}\quad\Rightarrow\quad\ G_\text{Kugel}\ \approx\ 124824\ g \approx125\ kg$

Die Granitkugel wiegt ungefähr $125\ kg$

Das Volumen des verdrängten Wassers entspricht dem Volumen der Kugel.

Berechne das Volumen des verdrängten Wassers.

$V_\text{Wasser}\ =\ r^2\cdot\pi\cdot h\quad\Rightarrow\quad\ V_\text{Wasser}\ =\ (7{,}5\ cm)^2\cdot 3{,}14\cdot 5\ cm\\ V_\text{Wasser}\ =\ 883{,}125 \ cm^3$

Das Volumen der Kugel entspricht dem Volumen des verdrängten Wassers.

Berechne den Durchmesser der Kugel, löse die Formel $V_\text{Kugel}\$nach $r$ auf.

$\text{Volumen \ {Kugel}}=\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\quad\Rightarrow\quad r\ =\ \sqrt[3]{\dfrac{3\cdot V_\text{Kugel}}{4\cdot\pi}}\quad\Rightarrow\quad r\ =\sqrt[3]{\dfrac{2649{,}375\ cm^3}{12{,}56}}$

$r\ \approx\ 5{,}95\ cm\quad\Rightarrow\quad d\approx 11{,}9\ cm$

Der Durchmesser der Deko-Kugel ist ungefähr $11, 9\ cm.$

In dem Karton befinden sich $40$ Kekse, $4$ von den Keksen enthalten ein Glückssymbol.

Die Wahrscheinlichkeit einen Keks mit einem Glückssymbol zu ziehen ist dann:

$\$$\ \dfrac{\text{Anzahl Kekse\ m. Glückssymbol}}{\text{Anzahl\ aller\ Kekse}} \quad\Rightarrow\quad\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}\ \text{oder}\ 10\%$

Baumdiagramm:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für mindestens ein „W“:

$\dfrac{24}{40}+\dfrac{16}{40}\cdot\dfrac{24}{39}=\dfrac{24}{40}+\dfrac{384}{1560}=\dfrac{936+384}{1560}=\dfrac{1320}{1560}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Schülersprecherin mindestens ein $W$ zieht ist:

$\\\hspace{40mm}\dfrac{11}{13}\$oder$\ \approx84{,}6\%$

Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen, in denen die Sprichwörter vorgelesen werden können.

Anzahl aller möglichen Reihenfolgen:

$\ n!\ \text{setze\ für}\ n=12\quad\Rightarrow\quad12!=12\cdot11\cdot10\cdot...\cdot2\cdot1\ =\ \underline{\underline{479\ 001\ 600}}$