Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Graph $G_f$ der in $\mathbb R$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ besitzt nur an der Stelle $x=3$ eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung $2$ ).

Betrachtet wird die in $\mathbb R$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=f(f(x))$ .

Geben Sie mithilfe von Abbildung $2$ die Funktionswerte $f(6)$ und $g(6)$ an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Der Funktionswert $f(6)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x=6$ erhält man $f(6)=2$ .
(Folge den $\textcolor{006400}{\text{grünen} }$ Pfeilen.)
Gesucht ist $g(6)$ .
Es gilt: $g(x)=f(f(x))$
$g(6)=f(f(6))$
$f(6)$ wurde schon abgelesen:
$f(6)=2\;\Rightarrow\;g(6)=f(2)$
Der Funktionswert $f(2)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x=2$ erhält man $f(2)=3$ .
Damit ist $g(6)=f(2)=3$ .
(Folge den $\textcolor{ff6600}{\text{orangen} }$ Pfeilen.)
Die Funktionswerte $f(6)$ und $g(6)$ lauten: $f(6)=2$ und $g(6)=3$ .
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Gemäß der Kettenregel gilt $g'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x)$ . Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung $2$ alle Stellen, an denen der Graph von $g$ eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle g'(x)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(f(x))\cdot f'(x)$
	↓	Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Also $f'(f(x))=0$ oder $f'(x)=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(x)$
	↓	Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass $f'(3)=0$ ist (waagrechte Tangente).
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(f(x))$
	↓	Da $f'(3)=0$ ist, muss $f(x)$ den Wert $3$ haben.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle f(x)$

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