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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Löse folgende Aufgaben.

    1. Gegeben ist die Funktion f:xx2+2xx+1 f: x\mapsto \dfrac{x^2+2x}{x+1} mit maximaler Definitionsmenge DfD_f.

      Geben Sie DfD_f und die Nullstellen von ff an. (2P)

    2. Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion hh an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion hh ist in R\mathbb{R} definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung y=3y=3 als waagrechte Asymptote und schneidet die y-Achse in Punkt (04)(0|4). (3P)

  2. 2
    Abbildung 1

    Gegeben ist die in R+ \mathbb R^+ definierte Funktion

    g:x4xg: x\mapsto \dfrac{4}{x}.

    Abbildung 11 zeigt den Graphen von gg.

    1. Berechnen Sie den Wert des Integrals 1eg(x)dx\displaystyle\int_1^eg(x)\mathrm{d}x. (2P)


    2. Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle x0R+x_0\in \mathbb R^+, für die gilt: Die lokale Änderungsrate von gg an der Stelle x0x_0 stimmt mit der mittleren Änderungsrate von gg im Intervall [1;4][1;4] überein. (3P)


  3. 3
    Abbildung 2

    Der Graph GfG_f der in R\mathbb R definierten ganzrationalen Funktion ff besitzt nur an der Stelle x=3x=3 eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung 22).

    Betrachtet wird die in R\mathbb R definierte Funktion g g mit g(x)=f(f(x))g(x)=f(f(x)).

    1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 22 die Funktionswerte f(6)f(6) und g(6)g(6) an. (2P)

    2. Gemäß der Kettenregel gilt g(x)=f(f(x))f(x)g'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 22 alle Stellen, an denen der Graph von gg eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)

  4. 4

    Gegeben sind die in R\mathbb R definierten Funktionen faf_a mit fa(x)=aex+3f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3 und aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\}.

    1. Zeigen Sie, dass fa(0)=af'_a(0)=-a gilt. (1P)

    2. Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von faf_a im Punkt (0fa(0)) (0|f_a(0)).

      Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die xx-Achse in einem Punkt schneidet, dessen xx-Koordinate größer als 12\dfrac{1}{2} ist. (4P)


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