Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

Löse folgende Aufgaben.

Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{x^2+2x}{x+1}$ mit maximaler Definitionsmenge $D_f$ .

Geben Sie $D_f$ und die Nullstellen von $f$ an. (2P)

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion $h$ an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion $h$ ist in $\mathbb{R}$ definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung $y=3$ als waagrechte Asymptote und schneidet die y-Achse in Punkt $(0|4)$ . (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Die Funktion $h$ soll auf ganz $\mathbb{R}$ definiert sein, d.h. es gibt keine Definitionslücken. Wähle deshalb einen Nenner, der für alle $x\in \mathbb R$ ungleich 0 ist.
Hier kommen zum Beispiel Funktionen der Art $x^n + a$ ( $a>0$ , n gerade) infrage.
Wähle z.B. den Nenner $x^2+1\;\Rightarrow\;h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ .
Die Funktion $h$ hat den Definitionsbereich $\mathbb D=\mathbb R$ . Somit ist die erste Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.
Aktuell gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\dfrac{1}{x^2+1}}_{\rightarrow 0}=0$
Da die Funktion $h$ aber die Asymptote $y=3$ haben soll, muss zu dem bisherigen Funktionsterm $3$ addiert werden $\;\Rightarrow\;h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}+3$ .
Nun gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\dfrac{1}{x^2+1}}_{\rightarrow 0}+3=3$ , also $y_{Asymptote}=3$ .
Somit ist auch die zweite Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.
Die Funktion $h$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0|4)$ .
$h(0)=\dfrac{1}{0^2+1}+3=1+3=4$ .
Die Funktion $h(x) =\dfrac{1}{x^2+1}+3$ erfüllt damit alle drei Bedingungen.
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Es gibt viele mögliche Lösungen. Beachte die drei Bedingungen:
in $\mathbb R$ definiert, also keine Definitionslücke
waagrechte Asymptote bei $y=3$ , also $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}h(x)=3$
geht durch $P(0|4)$ , also $h(0)=4$

Gegeben ist die in $\mathbb R^+$ definierte Funktion

$g: x\mapsto \dfrac{4}{x}$ .

Abbildung $1$ zeigt den Graphen von $g$ .

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_1^eg(x)\mathrm{d}x$ . (2P)

Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle $x_0\in \mathbb R^+$ , für die gilt: Die lokale Änderungsrate von $g$ an der Stelle $x_0$ stimmt mit der mittleren Änderungsrate von $g$ im Intervall $[1;4]$ überein. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Betrachte zunächst die mittlere Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$ .
Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[1;4]$ entspricht der Steigung der Geraden (Sekante) zwischen den Funktionswerten am Intervallanfang und am Intervallende.
In der Abbildung ist diese Sekante durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(4|1)$ eingezeichnet.
Betrachte nun die lokale Änderungsrate für die Funktion $g(x)$ an einer Stelle $x_0$ .
Die lokale Änderungsrate von $g(x)$ ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an der Stelle $x_0$ berührt.
Diese lokale Änderungsrate soll mit der Steigung der Sekante übereinstimmen.
Verschiebe also die Sekante solange parallel, bis sie nur noch einen Punkt mit $g(x)$ gemeinsam hat. Die Sekante ist zur Tangente geworden.
Die Stelle $x_0\in \mathbb R^+$ , für die gilt, dass die lokale Änderungsrate von $g$ an dieser Stelle mit der mittleren Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$ übereinstimmt, ist $x_0=2$ .
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Der Graph $G_f$ der in $\mathbb R$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ besitzt nur an der Stelle $x=3$ eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung $2$ ).

Betrachtet wird die in $\mathbb R$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=f(f(x))$ .

Geben Sie mithilfe von Abbildung $2$ die Funktionswerte $f(6)$ und $g(6)$ an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Der Funktionswert $f(6)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x=6$ erhält man $f(6)=2$ .
(Folge den $\textcolor{006400}{\text{grünen} }$ Pfeilen.)
Gesucht ist $g(6)$ .
Es gilt: $g(x)=f(f(x))$
$g(6)=f(f(6))$
$f(6)$ wurde schon abgelesen:
$f(6)=2\;\Rightarrow\;g(6)=f(2)$
Der Funktionswert $f(2)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x=2$ erhält man $f(2)=3$ .
Damit ist $g(6)=f(2)=3$ .
(Folge den $\textcolor{ff6600}{\text{orangen} }$ Pfeilen.)
Die Funktionswerte $f(6)$ und $g(6)$ lauten: $f(6)=2$ und $g(6)=3$ .
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Gemäß der Kettenregel gilt $g'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x)$ . Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung $2$ alle Stellen, an denen der Graph von $g$ eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)

Gegeben sind die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$ und $a\in \mathbb R\backslash\{0\}$ .

Zeigen Sie, dass $f'_a(0)=-a$ gilt. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f'_a(0)=-a$ soll nachgewiesen werden:
$f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$
Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.
$f'_a(x)=a\cdot e^{-x}\cdot (-1)=-a\cdot e^{-x}$
Setze $x=0$ in die erste Ableitung ein:
$f'_a(0)=-a\cdot e^{-0}=-a\cdot 1=-a$
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Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0|f_a(0))$ .

Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die $x$ -Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist. (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0|f_a(0))$ auf.

Berechne dazu zuerst $f_a(0)$ : $f_a(0)=a\cdot e^{-0}+3=a\cdot 1+3=a+3$

Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten $P(0|a+3)$ .

Allgemeine Tangentengleichung:

$t: y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=0$ .

In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet: $f'_a(0)=-a$

Damit folgt für die Tangentengleichung:

$t: y=-a\cdot x+b$

Die Tangente verläuft durch den Punkt $(0|a+3)$ . Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+b$
	↓	Setze den Punkt $(0\|a+3)$ ein.
$\displaystyle a+3$	$=$	$\displaystyle -a\cdot 0+b$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle a+3$

Die Tangentengleichung im Punkt $(0|f_a(0))$ lautet: $y=-a\cdot x+a+3$

Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. $a$ muss kleiner als null sein.

$\;\Rightarrow\;a<0$

Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die $x$ -Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse:

Es gilt $y=0$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+a+3$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+a$	$\displaystyle -a$
$\displaystyle -3-a$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x$	$\displaystyle :(-a)$
$\displaystyle \dfrac{-3-a}{-a}$	$=$	$\displaystyle x$

Die x-Achse wird bei $x= \dfrac{-3-a}{-a}$ geschnitten.

Nun soll dieser Schnittpunkt größer als $\dfrac{1}{2}$ sein:

$\displaystyle \frac{-3-a}{-a}$	$>$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$	$\displaystyle \cdot(-a)$
	↓	Da $a<0$ gilt, ist $(-a)>0$ . Das Ungleichkeitszeichen dreht sich nicht um.
$\displaystyle -3-a$	$>$	$\displaystyle -\dfrac{a}{2}$	$\displaystyle +a$
$\displaystyle -3$	$>$	$\displaystyle -\dfrac{a}{2}+a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3$	$>$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}$	$\displaystyle \cdot 2$
	↓	Da mit $2$ multipliziert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
$\displaystyle -6$	$>$	$\displaystyle a$

Für $a<-6$ hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die $x$ -Achse in einem Punkt geschnitten, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

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$\displaystyle \displaystyle4\cdot \int_1^e\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot \left[\ln\|x\|\right]_1^e$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(e)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot (\ln\|e\|-\ln\|1\|)$
	↓	Beachte $\ln(e)=1$ und $\ln(1)=0$ .
	$=$	$\displaystyle 4\cdot(1-0)$
	$=$	$\displaystyle 4$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Definitionsbereich:

Nullstellen:

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$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+2x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x(x+2)$
	↓	Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle g'(x)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(f(x))\cdot f'(x)$
	↓	Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Also $f'(f(x))=0$ oder $f'(x)=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(x)$
	↓	Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass $f'(3)=0$ ist (waagrechte Tangente).
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'(f(x))$
	↓	Da $f'(3)=0$ ist, muss $f(x)$ den Wert $3$ haben.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle f(x)$