Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1 - lernen mit Serlo!

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Gegeben ist die in $ℝ^{+}$ definierte Funktion

$g : x \mapsto \frac{4}{x}$ .

Abbildung $1$ zeigt den Graphen von $g$ .

Abbildung 1

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{1}^{e} g (x) d x$ . (2P)

Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle $x_{0} \in ℝ^{+}$ , für die gilt: Die lokale Änderungsrate von $g$ an der Stelle $x_{0}$ stimmt mit der mittleren Änderungsrate von $g$ im Intervall $[1; 4]$ überein. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Betrachte zunächst die mittlere Änderungsrate von $g (x)$ im Intervall $[1; 4]$ .
Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[1; 4]$ entspricht der Steigung der Geraden (Sekante) zwischen den Funktionswerten am Intervallanfang und am Intervallende.
In der Abbildung ist diese Sekante durch die Punkte $P (1 | 4)$ und $Q (4 | 1)$ eingezeichnet.
Betrachte nun die lokale Änderungsrate für die Funktion $g (x)$ an einer Stelle $x_{0}$ .
Die lokale Änderungsrate von $g (x)$ ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an der Stelle $x_{0}$ berührt.
Diese lokale Änderungsrate soll mit der Steigung der Sekante übereinstimmen.
Verschiebe also die Sekante solange parallel, bis sie nur noch einen Punkt mit $g (x)$ gemeinsam hat. Die Sekante ist zur Tangente geworden.
Die Stelle $x_{0} \in ℝ^{+}$ , für die gilt, dass die lokale Änderungsrate von $g$ an dieser Stelle mit der mittleren Änderungsrate von $g (x)$ im Intervall $[1; 4]$ übereinstimmt, ist $x_{0} = 2$ .
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