Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$ und $a\in \mathbb R\backslash\{0\}$ .

Zeigen Sie, dass $f_{a}^{'} (0) = - a$ gilt. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f_{a}^{'} (0) = - a$ soll nachgewiesen werden:
$f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$
Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.
$f'_a(x)=a\cdot e^{-x}\cdot (-1)=-a\cdot e^{-x}$
Setze $x = 0$ in die erste Ableitung ein:
$f'_a(0)=-a\cdot e^{-0}=-a\cdot 1=-a$
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Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(0 ∣ f_{a} (0))$ .

Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die $x$ -Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist. (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(0 ∣ f_{a} (0))$ auf.

Berechne dazu zuerst $f_{a} (0)$ : $f_a(0)=a\cdot e^{-0}+3=a\cdot 1+3=a+3$

Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten $P (0 ∣ a + 3)$ .

Allgemeine Tangentengleichung:

$t: y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion $f_{a}$ an der Stelle $x = 0$ .

In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet: $f_{a}^{'} (0) = - a$

Damit folgt für die Tangentengleichung:

$t: y=-a\cdot x+b$

Die Tangente verläuft durch den Punkt $(0 ∣ a + 3)$ . Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+b$
	↓	Setze den Punkt $(0 ∣ a + 3)$ ein.
$\displaystyle a+3$	$=$	$\displaystyle -a\cdot 0+b$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle a+3$

Die Tangentengleichung im Punkt $(0 ∣ f_{a} (0))$ lautet: $y=-a\cdot x+a+3$

Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. $a$ muss kleiner als null sein.

$\;\Rightarrow\;a<0$

Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die $x$ -Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse:

Es gilt $y = 0$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+a+3$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x+a$	$\displaystyle -a$
$\displaystyle -3-a$	$=$	$\displaystyle -a\cdot x$	$\displaystyle :(-a)$
$\displaystyle \dfrac{-3-a}{-a}$	$=$	$\displaystyle x$

Die x-Achse wird bei $x= \dfrac{-3-a}{-a}$ geschnitten.

Nun soll dieser Schnittpunkt größer als $\dfrac{1}{2}$ sein:

$\displaystyle \frac{-3-a}{-a}$	$>$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$	$\displaystyle \cdot(-a)$
	↓	Da $a < 0$ gilt, ist $(- a) > 0$ . Das Ungleichkeitszeichen dreht sich nicht um.
$\displaystyle -3-a$	$>$	$\displaystyle -\dfrac{a}{2}$	$\displaystyle +a$
$\displaystyle -3$	$>$	$\displaystyle -\dfrac{a}{2}+a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3$	$>$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}$	$\displaystyle \cdot 2$
	↓	Da mit $2$ multipliziert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
$\displaystyle -6$	$>$	$\displaystyle a$

Für $a < - 6$ hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die $x$ -Achse in einem Punkt geschnitten, dessen $x$ -Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

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