Definitionsbereich:

Der Funktionsterm$f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x+1}$  ist ein Quotient. Bei einem Quotienten darf der Nenner $N\left(x\right)=\left(x+1\right)$ nicht null werden.

Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen:

$x+1=0\;\Rightarrow\;x=-1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden $\Rightarrow\;$ $\mathbb D=\mathbb R\backslash\{-1\}$.

Nullstellen:

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$.

Die Funktion $h$ soll auf ganz $\mathbb{R}$ definiert sein, d.h. es gibt keine Definitionslücken. Wähle deshalb einen Nenner, der für alle $x\in \mathbb R$ ungleich 0 ist.

Hier kommen zum Beispiel Funktionen der Art $x^n + a$ ($a>0$, n gerade) infrage.

Wähle z.B. den Nenner $x^2+1\;\Rightarrow\;h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$.

Die Funktion $h$ hat den Definitionsbereich $\mathbb D=\mathbb R$. Somit ist die erste Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.

Aktuell gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\dfrac{1}{x^2+1}}_{\rightarrow 0}=0$

Da die Funktion $h$ aber die Asymptote $y=3$ haben soll, muss zu dem bisherigen Funktionsterm $3$ addiert werden$\;\Rightarrow\;h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}+3$.

Nun gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\dfrac{1}{x^2+1}}_{\rightarrow 0}+3=3$, also $y_{Asymptote}=3$.

Somit ist auch die zweite Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.

Die Funktion $h$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0|4)$.

$h(0)=\dfrac{1}{0^2+1}+3=1+3=4$.

Die Funktion $h(x) =\dfrac{1}{x^2+1}+3$ erfüllt damit alle drei Bedingungen.