Komplexe Zahlen in Exponentialform

Eine komplexe Zahl $z$ kann in der Exponentialform dargestellt werden:

\displaystyle \huge z=\color{blue}r\color{black}\cdot e^{i\color{darkgreen}\alpha}

Dahinter steckt die eulersche Formel

\displaystyle e^{i\alpha}=\cos\left(\alpha\right)+i\cdot\sin\left(\alpha\right).

Darstellung einer komplexen Zahl $z$ mit Betrag $\color{blue}r$ und dem Winkel $\color{darkgreen}\alpha$

MerkeExponentialform einer komplexen Zahl

$\huge z=\color{blue}r\color{black}\cdot e^{i\color{darkgreen}\alpha}$

Dabei sind

$\large \color{blue}r$ der Betrag der komplexen Zahl (Strecke von Zahl bis zum Ursprung)
$\large \color{darkgreen}\alpha$ der Winkel zwischen $r$ und der x-Achse.

Geometrische Interpretation

Geometrisch gesehen haben $r$ und $\alpha$ in der Exponentialform dieselbe Bedeutung wie in der Polarform einer komplexen Zahl:

$\large \color{blue}r$ entspricht in der Gaußschen Zahlenebene dem Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung.
$\large \color{darkgreen}\alpha$ ist der von der Strecke $r$ mit der $x$ -Achse eingeschlossene Winkel.

Beispiel

Die komplexe Zahl $z = 3 + 2 i$ kann auch anders dargestellt werden.

Für die Darstellung durch die Exponentialform muss die Strecke $\large \color{blue}r$ und der Winkel $\large \color{darkgreen}\alpha$ berechnet werden:

$\large \color{blue}r\color{black}=\sqrt{3^2+2^2}=\color{blue}\sqrt{13}$

$\displaystyle \large \color{darkgreen}\alpha$	$=$	$\displaystyle \arctan{\left(\frac23\right)}$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{33{,}69^\circ}_{\text{Angabe in Grad}}$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{\color{darkgreen}0{,}59}_{\text{Angabe in Bogenlänge}}$

Darstellung der komplexen Zahl $z = 3 + 2 i$

Zusammengesetzt ist die Exponentialdarstellung

$\huge z=\color{blue}\sqrt{13}\color{black}\cdot e^{\color{darkgreen}0{,}59\color{black}\cdot i}$

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