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Komplexe Zahlen in Exponentialform

Darstellung einer komplexen Zahl  mit Betrag  und dem Winkel

Darstellung einer komplexen Zahl zz mit Betrag r\color{blue}r und dem Winkel α\color{darkgreen}\alpha

Eine komplexe Zahl zz kann in der Exponentialform dargestellt werden:

Dahinter steckt die eulersche Formel

MerkeExponentialform einer komplexen Zahl

z=reiα\huge z=\color{blue}r\color{black}\cdot e^{i\color{darkgreen}\alpha}

Dabei sind

  • r\large \color{blue}r der Betrag der komplexen Zahl (Strecke von Zahl bis zum Ursprung)

  • α\large \color{darkgreen}\alpha der Winkel zwischen rr und der x-Achse.

Geometrische Interpretation

Geometrisch gesehen haben rr und α\alpha in der Exponentialform dieselbe Bedeutung wie in der Polarform einer komplexen Zahl:

  • r\large \color{blue}r entspricht in der Gaußschen Zahlenebene dem Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung.

  • α\large \color{darkgreen}\alpha ist der von der Strecke rr mit der xx-Achse eingeschlossene Winkel.

Beispiel

Darstellung der komplexen Zahl

Darstellung der komplexen Zahl z=3+2iz=3+2i

Die komplexe Zahl z=3+2iz=3+2i kann auch anders dargestellt werden.

Für die Darstellung durch die Exponentialform muss die Strecke r\large \color{blue}r und der Winkel α\large \color{darkgreen}\alpha berechnet werden:

r=32+22=13\large \color{blue}r\color{black}=\sqrt{3^2+2^2}=\color{blue}\sqrt{13}

α\displaystyle \large \color{darkgreen}\alpha==arctan(23)\displaystyle \arctan{\left(\frac23\right)}
==33,69Angabe in Grad\displaystyle \underbrace{33{,}69^\circ}_{\text{Angabe in Grad}}
==0,59Angabe in Bogenla¨nge\displaystyle \underbrace{\color{darkgreen}0{,}59}_{\text{Angabe in Bogenlänge}}
Bild

Zusammengesetzt ist die Exponentialdarstellung

z=13e0,59i\huge z=\color{blue}\sqrt{13}\color{black}\cdot e^{\color{darkgreen}0{,}59\color{black}\cdot i}


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